La conexión entre la descomposición de $\ker(f_\phi g_\phi)$ y el Teorema chino del resto

Question

Problema Original

Supongamos $K$ es un campo, $f,g\in K[x]$ y $\gcd(f,g)=1$. $V$ es un espacio lineal basado en el $K$$\phi\in\operatorname{End}(V)$. La notación $f_\phi$ $g_\phi$ denotar transformaciones lineales $f(\phi)$$g(\phi)$. Tratamos de demostrar que $$\ker(f_\phi g_\phi)=\ker(f_\phi)\oplus\ker(g_\phi)$$

El croquis de la prueba

Aviso de que los sub-anillo de $K[\phi]\subseteq\operatorname{End}(V)$ es conmutativa, y $f_\phi,g_\phi\in K[\phi]$, por lo que es fácil demostrar que los $\ker(f_\phi),\ker (g_\phi)\subseteq\ker(f_\phi g_\phi)$.

$\because\gcd(f,g)=1$, $\therefore\exists u,v\in K[x]: uf+vg=1\implies u_\phi f_\phi+v_\phi g_\phi=I_V$, donde $I_V$ es la identidad del operador de $V$.

$\forall x\in\ker(f_\phi g_\phi)$, enchufe $x$ en la anterior ecuación, tenemos $x=u_\phi f_\phi(x)+v_\phi g_\phi(x)$, y no es difícil mostrar que $u_\phi f_\phi(x)\in\ker(g_\phi)$$v_\phi g_\phi(x)\in\ker(f_\phi)$, lo $x\in\ker(f_\phi)+\ker(g_\phi)$.

$\forall x\in\ker(f_\phi)\cap\ker(g_\phi)$, enchufe $x$ a que la ecuación y tenemos $x=0$, lo $\ker(f_\phi)\cap\ker(g_\phi)=0$, Q. E. D

Pensamientos

Parece que la proposición es bastante similar al Teorema del Resto Chino, dicen: $$\mathbb Z/mn\mathbb Z\cong\mathbb Z/m\mathbb Z\oplus\mathbb Z/n\mathbb Z$$ si $\gcd(m,n)=1$.

Podemos encontrar la relación más profunda entre estas dos proposiciones? O simplemente un aspecto único?

Gracias!

Answer 1

Desde mi anterior respuesta, me he dado cuenta que hay una forma muy sencilla de relacionar el teorema del resto Chino para $K[X]$, que es un resultado de los anillos, el núcleo de la descomposición teorema de espacios vectoriales.

El teorema del resto Chino para un director ideal de dominio $R$ dice que si $a_1,\ldots,a_k\in R$ son parejas relativamente primos, a continuación, $R/a_1\ldots a_kR\cong(R/a_1R)\times\cdots\times(R/a_kR)$ a través del mapa que en el componente$~i$ del producto está dada por la reducción del modulo$~a_i$ como morfismos $R/a_1\ldots a_kR\to R/a_iR$. Si $\widehat a_i=a_1\ldots a_k/a_i$ denota el producto de todos los factores excepto $a_i$, se establece, en esencia, la existencia de Bezout coeficientes de $c_1,\ldots,c_k\in R$ tal que $c_1\widehat a_1+\cdots+c_k\widehat a_k=1$, puesto que requiere la clase de $c_i\widehat a_i$ a de proyecto para el elemento $e_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ del producto anillo de ($1$ está en la posición$~i$), y una vez que estos se imparten las clases, uno puede elegir a sus representantes, la adaptación de la última elección de modo de hacer de la igualdad de a$~1$ exacto (en lugar de sólo una congruencia modulo $a_1\ldots a_k$).

La aplicación de este para $R=K[X]$, se obtiene que si $P_1,\ldots,P_k\in K[X]$ son parejas relativamente primer polinomios, a continuación,$K[X]/(P_1\ldots P_k)\cong(K[X]/(P_1))\times\cdots\times(K[X]/(P_k))$. También para cualquier endomorfismo$~\phi$, el kernel $\ker(P_1\ldots P_k[\phi])$ es, naturalmente, un módulo más que el anillo. El último paso que me faltaba antes es la siguiente resultado (me sorprende que yo nunca lo vi de manera explícita)

Lema. Cualquier módulo de $M$ sobre un producto $R=R_1\times\cdots\times R_k$ (unitario) anillos canónicamente se descompone como suma directa de $M=M_1\oplus\cdots\oplus M_k$ donde $M_i$ es un módulo más de$~R_i$ (el resto de los factores que actúan como $0$).

La prueba es casi trivial: si $e_i\in R$ es el elemento con coordinar$~1$ en el factor de $R_i$ $~0$ en el de los factores, uno de ellos ha $M_i=e_iM$, y la suma directa de descomposición es una consecuencia de la $e_1+\cdots+e_k=1$ junto con las relaciones $e_i^2=e_1$$e_ie_j=0$$i\neq j$. Incluso no conmutatividad de la$~R$ es necesario.

De vuelta al álgebra lineal, esto nos dice que $\ker(P_1\ldots P_k[\phi])$ canónicamente se descompone como suma directa de submódulos, sumando $M_i$ se obtiene como imagen de (multiplicación) por el polinomio $C_i[\phi]$ $~\phi$ donde $C_i$ es el coeficiente de Bezout satisfacer $C_1\widehat{P_1}+\cdots+C_k\widehat{P_k}=1$ anterior. Este submódulo puede ser visto para ser igual a la del núcleo de $P_i[\phi]$, de donde el núcleo teorema de la descomposición.

Answer 2

Hay una conexión entre estos resultados, pero es más difícil de formular lo que uno podría pensar. Tal vez hay algo mejor que lo que yo propongo aquí, haciendo el ajuste (incluso) más general, pero esto es lo que he encontrado (cuando pensaba acerca de esta conexión hace algún tiempo).

Voy a llamar al resultado que se iniciaba con el kernel teorema de descomposición; no estoy seguro de que este es el término correcto inglés o incluso si el resultado lleva un nombre en todo, pero en Francia se llama (en una versión con cualquier número de pares de primos relativos polinomios) "Théorème de décomposition des noyaux" (y es una piedra angular en cualquier curso de álgebra lineal avanzada). El resultado es muy general, y aun no se requiere ningún finito dimensionalidad, como el dado prueba de muestra. Así que voy a tratar de deducir de alguna forma del teorema del resto Chino. Parece difícil que hacerlo de la forma original de ese teorema, que no implica ningún espacios vectoriales, por lo que en su lugar voy a ir a por el formulario que hay un $K$-álgebra de descomposición $$ K[X]/(P_1\ldots P_k)=K[X]/(P_1)\oplus\cdots\oplus K[X]/(P_k) $$ siempre que $P_1,\ldots,P_k$ son parejas relativamente primer polinomios; esta es la natural "$K$-versión lineal" de el teorema del resto Chino siguiendo la costumbre de la analogía entre el$\def\Z{\Bbb Z}\Z$$K[X]$.

Aunque las hipótesis sobre los polinomios coinciden, este "resto Chino" instrucción no es la del kernel teorema de descomposición; el principal problema es que estamos en la descomposición de un cociente de $K[X]$ en otros cocientes, en lugar de los núcleos, que son subespacios de un espacio dado. Para remediar esto, necesito ver el CR teorema como uno de una descomposición de la $K[X]$-módulos, y en particular de los submódulos de un gran módulo que contiene todos los cocientes de $K[X]$ en una manera única como submódulo. Que submódulo es el análogo de la $\Z$-módulo de $\Bbb Q/\Z$ (en el que cada finito grupo cíclico se produce exactamente una vez como submódulo): es el $K[X]$-módulo de $M=K(X)/K[X]$ de funciones racionales en $X$ ( $K$ ), modulo polinomios en $X$.

Para cualquier monic polinomio $P$ el cociente módulo de $K[X]/(P)$ se realiza dentro de $M$ como de los elementos con un representante de la función racional habiendo $P$ como denominador: para este tipo de funciones racionales el numerador es efectivamente un elemento de $K[X]/(P)$. Este submódulo es también el núcleo de la endomorfismo $P_\phi$ $M$ de la multiplicación por $P$ (de esta manera se sigue la notación de la pregunta, con $\phi:M\to M$ multiplicación por $X$). En virtud de estas identificaciones, el núcleo de la descomposición teorema da la declaró versión del teorema del resto Chino, pero como un isomorfismo de $K[X]$-módulos. Sin embargo, desde el que ocurren $K[X]$-los módulos son todos cíclico de los módulos, que pueden ser equipados por un $K[X]$-álgebra estructura compatible con la estructura del módulo por la elección de cualquier generador de $u$ del módulo de la unidad de los elementos del álgebra (el mapa de $K[X]$ envío de $Q\mapsto Qu$ se convierte en un cociente mapa). Entonces cualquier $K[X]$-módulo de morfismos se convierte en un $K$-algabra de morfismos siempre que envía la unidad de elemento a elemento unidad, y la descomposición de la $K[X]$-módulos obtenidos por el kernel teorema de la descomposición se convertirá en uno de $K[X]$-álgebras, a condición de que los elementos de la unidad en la sumandos de la derecha son las elegidas para ser las proyecciones de la unidad de elemento a la izquierda.

La transición de la $K[X]$-módulos de a $K[X]$-álgebras no es totalmente inocente, como se demuestra por el hecho de que la más obvia conjunto de opciones para un generador en el núcleo de cada una de las $P_\phi$, es decir, de tomar (la imagen en $M$) $\frac1P$, no es compatible con la descomposición: poner a $P=P_1\ldots P_k$, la función racional $\frac1P$ no es congruente, modulo polinomios, a la suma de $\frac1{P_1}+\cdots+\frac1{P_k}$. Uno debe elegir el extraño generador de $\frac1{P_1}+\cdots+\frac1{P_k}$$\ker(P_\phi)$, o si uno elige el generador de $\frac1P$, entonces el generador en $\ker((P_i)_\phi)$ debe ser el "Bezout término" $C_i\tilde P_i$ donde $\tilde P_i=P/P_i$ es el producto de todos los $P_j$ $j\neq i$ $C_i\in K[X]$ es el coeficiente de Bezout tal que $C_1\tilde P_1+\cdots+C_k\tilde P_k=1$. De cualquier manera la proyección de $K[X]/(P)\to K[X]\to(P_i)$ no se dio cuenta al multiplicar el denominador por $\tilde P_i$, sino por $C_i\tilde P_i$.

Todo esto tiene una (simple) equivalente para $\Z$ en lugar de $K[X]$. En lugar de que el núcleo de la descomposición teorema no es un teorema de la descomposición de Abelian grupos, es decir, que si $m\in\Z$ es un producto de pares relativamente factores primos $q_i$, entonces la torsión subgrupo aniquilado por la multiplicación por $m$ se descompone como suma directa de subgrupos aniquilado por la multiplicación por cada una de las $q_i$. Esto le da a la descomposición de la cíclico grupo $\Z/m\Z$ como suma directa de grupos cíclicos $\Z/q_i\Z$, la cual puede ser realizada dentro del grupo de $\Bbb Q/\Z$. Para hacer de esto una descomposición de los anillos que uno necesita para elegir los generadores en el cíclica de los grupos, y la más obvia la elección de $\frac1n+\Z$ como generador para cada subgrupo cíclico $\Z/n\Z$ dentro $\Bbb Q/\Z$ no trabajo aquí.

Tenga en cuenta que si uno de los estados (como es habitual) el teorema del resto Chino como una descomposición de la $\Z/m\Z$ como producto de anillos, entonces las proyecciones $\Z/m\Z\to\Z/q_i\Z$ son indoloros (sólo mod por $q_i$), pero es la otra dirección (levantamiento de una tupla de elementos en las distintas $\Z/q_i\Z$ a un elemento de $\Z/m\Z$) que requiere el uso de la Bezout términos. La situación es, en este sentido opuesto a la de los submódulos de $\Bbb Q/\Z$!

Answer 3

Creo que una analogía se cruza con otra.

Por un lado, su trabajo muestra que $f_\phi$ $g_\phi$ son coprime en el ring $K[\phi]$, y por lo $K[\phi]/(f_\phi g_\phi)\cong K[\phi]/(f_\phi)\oplus K[\phi]/(g_\phi)$ sería una mejor analogía con el teorema del resto Chino comentario en $\Bbb Z$ que hizo, tanto de anillo de descomposición.

Dado que el núcleo de la ecuación deja de hablar de $f_\phi$$g_\phi$, como elementos de un anillo de transformaciones $V\rightarrow V$, y en lugar de interruptores de sus núcleos, la analogía con $\Bbb Z$ se pierde. No está claro lo que los elementos de $\Bbb Z$ debe estar operando para producir granos.

Sin embargo, si permitimos que los elementos de $\Bbb Z$ a actuar como mapas de $\Bbb Z\rightarrow \Bbb Z/(k)$ diferentes $k$'s, entonces los granos producidos sería subgrupos de $\Bbb Z$, los cuales son todos cíclico de curso. Y es cierto que el grupo cíclico de la ecuación de $C_n\times C_m\cong C_{mn}$ al $m$ $n$ son coprime. Este podría ser el pariente más cercano de su núcleo ecuación.

Una última diferencia a tener en cuenta es que el núcleo de la ecuación está teniendo lugar en un espacio vectorial (a $K$ módulo), y sabemos que los espacios vectoriales se descomponen muy bien. Por otro lado, $\Bbb Z$ módulos no tienen estos lindos de descomposición propiedades.

Answer 4

Suponiendo que no he descuidado algo....

La prueba de no hacer uso del hecho de que $f$ $g$ son polinomios o que $V$ era en realidad un espacio vectorial: iba a funcionar para cualquier conmutativa sub-anillo de $End(A)$ por un grupo Abelian $A$. (aunque tendrías que reemplazar "$\gcd(f,g)=1$" con "$f$ $g$ son coprime")

En particular, en su Teorema del Resto Chino ejemplo, considere los dos endomorphisms "multiplicación por $m$" y "multiplicación por $n$" aplicada a $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$.