La gente, básicamente, se han explicado los detalles, pero voy a hacer un intento de formular en un lenguaje más familiar a un matemático. Voy a ignorar sutilezas que entrar para obtener más general Mentira superalgebras.
Deje $\mathfrak g$ ser una Mentira superalgebra con el $\mathbb Z_2$ clasificación $\mathfrak g = \mathfrak g_e\oplus\mathfrak g_o$, donde los dos factores son los pares ("bosonic") y un número impar ("fermionic") parte respectivamente. La parte $\mathfrak g_e$ forma cerrada de la Mentira álgebra y actúa en el impar parte $\mathfrak g_o$ por los adjuntos de acción
\begin{equation}
ad_g:\mathfrak g_o\rightarrow\mathfrak g_o, \qquad q\rightarrow ad_g(q)=[g,q],
\end{equation}
donde $g\in\mathfrak g_e$ $[.,.]$ es el colector de la Mentira superalgebra. Ahora, $\mathfrak g_o$ es un espacio vectorial y por lo tanto forman una representación en el espacio de la parte $\mathfrak g_e$ (en el adjunto de la acción). Ahora se puede descomponer $\mathfrak g_o$ en representaciones irreducibles de $\mathfrak g_e$. Así que usted puede construir una base de $\mathfrak g_o$ que se transforma en virtud de una representación de $\mathfrak g_e$ bajo el medico adjunto de la acción, o en otras palabras, a sus conmutadores sólo corresponden a algunas de representación de $\mathfrak g_e$.
En el caso de que usted está hablando, $\mathfrak g_e$ es sólo el de Poincaré álgebra y $\mathfrak g_o$ se transforma en determinadas spinor-representación de ella (en el adjunto acción/conmutador).
Edit: creo que me malentendida anterior a las preguntas sobre el papel de super-Jacobi identidades. Permítanme, siguiendo joshphysics la sugerencia, elaborar en esta usando
el ligeramente más matemático (base independiente) en el lenguaje. Para una base más dependiente de enfoque, recomiendo joshphysics' respuesta a continuación.
Como he explicado anteriormente, el adjunto de la acción $\text{ad}:\mathfrak g_e\rightarrow\mathfrak{gl}(\mathfrak g_o)$, o en otras palabras
$\text{ad}_x:\mathfrak g_o\rightarrow\mathfrak g_o$ (donde $x\in\mathfrak g_e$), es en realidad un $\text{dim}(\mathfrak g_o)$ dimensiones
la representación de la Mentira álgebra $\mathfrak g_e$ sobre el espacio vectorial $\mathfrak g_o$. Esto significa que es una Mentira álgebra homomorphism
$$ \left[ \text{ad}_x,\text{ad}_y \right](z) = \text{ad}_{[x,y]}(z),\qquad x,y\in\mathfrak g_e, z\in \mathfrak g_o,$$
donde puedo utilizar la notación
$$ \left[ \text{ad}_x,\text{ad}_y \right] = \text{ad}_x\circ \text{ad}_y - \text{ad}_y\circ \text{ad}_x.$$
Uno puede muy fácilmente muestran que el medico adjunto de la acción de satisfacer la anterior identidad y es por tanto una representación, haciendo uso de la Jacobi identites. Así, la Jacobi identidades
asegúrese de que el medico adjunto de la acción es una Mentira álgebra homomorphism. Si usted opta por una base, usted puede ver fácilmente que esto es equivalente a lo joshphysics unidos en su respuesta.
En particular, los coeficientes de $s_{\alpha,i}^\beta$ (en la notación de joshphysics), corresponden a una representación de la parte $\mathfrak g_e$. Aunque no creo que
tiene que ser el adjunto de la representación en general (que no es el caso de la super-Poincaré de álgebra por ejemplo).
