Necesitan una fórmula general para $\frac{d^n}{dx^n}\left(f(x)^m\right)$

Question

Que $m,n\in\mathbb{N}$.

Necesito expresar el % de derivados $\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}\left(f(x)^m\right)$en términos de sumas y productos de los derivados de la función $f$ sí mismo.

Aquí están los resultados de varios pequeños valores de $n$: $$\frac{d}{dx}\left(f(x)^m\right)=m \cdot f(x)^{m-1} \cdot f^{'}(x)$ $

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$$\frac{d^2}{dx^2}\left(f(x)^m\right)=m \cdot (m-1) \cdot f(x)^{m-2} \cdot f^{'}(x)^2+m \cdot f(x)^{m-1} \cdot f^{''}(x)$$

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$$\frac{d^3}{dx^3}\left(f(x)^m\right)=m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdot f(x)^{m-3} \cdot f^{'}(x)^3+3 \cdot m \cdot (m-1) \cdot f(x)^{m-2} \cdot f^{'}(x) \cdot f^{''}(x) + m \cdot f(x)^{m-1} \cdot f^{'''}(x)$$

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Trataba de encontrar un patrón común de estas expresiones, pero no.

Pregunta: ¿Es posible encontrar una fórmula general para la derivada de cualquier orden determinado $n$?

Answer 1

Un problema relacionado. El Faà di Bruno fórmula está dada por

$$ {d^n \over dx^n} g(f(x)) = \sum_{k=1}^n g^{(k)}(f(x))\cdot B_{n,k}\left(f'(x),f''(x),\dots,f^{(n-k+1)}(x)\right). $$

Ahora, en el caso de $g(x)=x^m$ que podemos encontrar una fórmula explícita para hacerlo

$$ \frac{d^k}{dx^k} x^m = \frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m-k+1 )}x^{m-k}. $$

Así, usted tendrá la fórmula para su problema

$$ (g(f(x)))^{(n)} = \Gamma(m+1)\sum_{k=1}^n \frac{x^{m-k}}{\Gamma(m-k+1 )} B_{n,k}\left(f'(x),f''(x),\dots,f^{(n-k+1)}(x)\right). $$