Cómo puede uno visualizar una asignación homomórficas.

Question

Ha pasado un año o así que estudiar teoría del grupo y teoría del anillo. Curiosamente, esta es la parte donde soy capaz de resolver la mayoría de las preguntas del libro bastante fácilmente, pero no entender qué mapa homomórficos realmente es. Sin embargo, me resulta mucho más fácil de visualizar un mapa isomorfo.

Sé la definición. Pero me gustaría entender con un enfoque visual. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Una forma de ver un homomorphism es el uso de acciones del grupo. Si $G$ es un grupo y $X$ es un conjunto, entonces una acción de $G$ en el conjunto de $X$ es un mapa $$\begin{align*} G\times X&\rightarrow X\\ (g, x)&\mapsto x\cdot g \end{align*}$$ tal que las dos condiciones siguientes. $$\begin{align*} &x\cdot 1=x\:&\forall\:x\in X\\ &x\cdot(gh)=(x\cdot g)\cdot h\:&\forall\:x\in X \end{align*}$$ Escribimos$^{\dagger}$ $G\curvearrowright X$ significa que $G$ actúa en $X$. Esta definición puede parecer inicialmente misterioso, pero si te acuerdas del Teorema de Cayley, todo esto que está diciendo es que cada grupo actúa sobre algo, y otro teorema de Cayley establece que cada grupo actúa sobre un gráfico. Otros ejemplos son Diedro grupos, que actúan sobre los polígonos, y el grupo cíclico de orden $n$ actúa en un $n$-gon por rotación. Wikipedia tiene un montón de ejemplos. Grupo de acciones son importantes.

Cómo se relaciona con homomorphisms? Así, una acción $G\curvearrowright X$ corresponde a un homomorphism $G\rightarrow \operatorname{Aut}(X)$. Ejemplos:

• El diedro grupo de orden $2n$, denotado $D_{n}$, es el automorphism grupo de una $n$-gon, y, por supuesto, $D_8=\langle \alpha, \beta; \alpha\beta\alpha=\beta^{-1}, \alpha^2=1, \beta^8\rangle$ actúa sobre un cuadrado de una manera natural ($\alpha$ todavía volteretas, $\beta$ todavía gira). Para que esta acción corresponde a un homomorphism $D_8\rightarrow D_4$, y es fácil ver que es no inyectiva (porque el elemento $\beta^4$ revisiones de la plaza), pero es surjective.

• El grupo cíclico de orden $n$, $\mathbb{Z}_n$, actúa en un $n$-gon por rotación. Esto le da un inyectiva, no surjective mapa de $\mathbb{Z}_n\rightarrow D_{2n}$.

• El teorema de Cayley: Usted puede probar de Cayley del teorema muy rápidamente a través de acciones del grupo, de la siguiente manera. Cada grupo actúa sobre sí mismo por la derecha de la multiplicación: $$\begin{align*} G\times G&\rightarrow G\\ (g, h)&\mapsto g\cdot h \end{align*}$$ Por lo tanto, existe un homomorphism $G\rightarrow S_G$ (donde $S_G$ es el grupo simétrico en el conjunto subyacente en el grupo $G$, lo $S_G$ es el automorphism grupo del conjunto subyacente $G$ más que en el automorphism del grupo $G$ sí). Este mapa es inyectiva como si $g\cdot h=1\cdot h$$g=1$, de modo que el núcleo es trivial. Por lo tanto, $G$ incrusta en $S_G$.

• Existe una surjective homomorphism desde el grupo cíclico de orden $mn$, $\mathbb{Z}_{mn}$, para el grupo cíclico de orden $n$, $\mathbb{Z}_n$, debido a que tanto $\mathbb{Z}_{mn}$ $\mathbb{Z}_{n}$ act en la (dirección) $n$-gon por rotación ("dirigida", significa que mover de un tirón no está permitido, por lo que el automorphism grupo es $\mathbb{Z}_n$ en lugar de $D_{2n}$). Ejercicio: Utilice esta acción para encontrar el núcleo de la surjection $\mathbb{Z}_{mn}\rightarrow \mathbb{Z}_n$.

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$^{\dagger}$ Esta notación es la que yo he encontrado más, pero parece que no hay ningún estándar de notación para una acción. Así que tal vez debería haber dicho "yo escribo..."

Answer 2

Lo que a menudo me ayuda es la siguiente primitiva intuición basada en teoremas de isomorfismo:

Supongamos que se tienen dos grupos/anillos de $A, B$. Tomar un subgrupo normal/ambos lados ideal $C \subseteq A$ y considerar la proyección $$\pi_c:A \rightarrow A/C$$ (here it is pretty obvious what the projection does: it glues together certain elements of $$ en una manera que permite definir las operaciones de las clases de pegado de los elementos a través de represetatives de las clases. así que es algo así como "hacer la estructura más gruesa").

Ahora assumee que hay un subgrupo/sub-anillo $D$ $B$ que es isomorfo a $A/C$ y corregir algunas suh isomorphsim $\varphi$.

A continuación, la composición de la $A\rightarrow A/C \stackrel{\varphi}\rightarrow D \subseteq B$ da un homomorphism $A\rightarrow B$, pero lo que el (primer, creo) teorema de isomorfismo muestra es que cada homomorphism $\psi: A\rightarrow B$ es de esta forma (con $C=\mathrm{Ker} \psi$$D=\mathrm{Im}\psi$). Así que lo que cada homomorphism hace es que hace que la estructura del dominio (más o menos) es más grueso y, a continuación, se incorpora en el codominio.

Answer 3

Grupo y estructuras de anillo (en un conjunto $A$) es de alrededor de uno, respectivamente, dos funciones $A\times A\rightarrow A$.

La conexión sencilla es que homomorphisms conserva las estructuras de las relaciones. El caso más sencillo es que los gráficos y el gráfico de homomorphism, donde los nodos conectados mapas de nodos conectados:

$x\rightharpoonup y\implies\varphi(x)\rightharpoonup \varphi(y)$

Para las funciones $A\times A\rightarrow A$, $(a,b)\in A^2$ está "conectado" con $c\in A$ si y sólo si $a\star b=c$, y por lo tanto $(f(a),f(b))$ está "conectado" a $f(c)$ si $f$ es un homomorphism. Que es:

$f(a)\star f(b)=f(c)=f(a\star b)$.

Hay una gran cantidad de estructuras matemáticas de conjuntos, donde homomorphisms mapas "conectado" elementos "conectado" elementos.