La conjetura es verdadera, como lo son el resto de los casos reportados en los comentarios
donde f(z):=2F1(13,13;56;z)
toma algebraica de los valores de especial racional de los valores de a z.
Hay un par de otros obtenidos a partir de la simetría z↔1−z
(estos 2F1 parámetros que corresponden a un triángulo hiperbólico grupo
con el índice de 6,6,∞ c=0,1,∞, por lo que el z=0 y z=1
índices coinciden); por ejemplo, f(−1/3)=2/32/3 pares con
f(4/3)=3−2/3(5−√−3)/2. (z=1/2 pares con la misma,
y el par f(−4) y f(5) ha señalado ya;
el OP f(−27)=−4/7 pares con f(28)=12−314√−3.)
Algo más exóticas son
f(−3172−880√13)=726(√13−3),f(−517−90√33)=611(90√33−517)1/6,
y más valores en algebraicas conjugados y las imágenes bajo
z↔1−z.
En general, por z<1 la fórmula integral por f(z) relaciona con
∫10dx√1−xx2/3(1−zx)1/3
que es la mitad de un "espacio" para la holomorphic diferencial
dx/ y en la curva de Cz:y6=(1−x)3x4(1−zx)2. Esta curva
tiene género 2, pero es en el especial de la familia de género-2 curvas
con un automorphism de orden 3 (multiplicar y por una raíz cúbica de la unidad),
para que tanto real períodos son múltiplos del periodo real de un
sola curva elíptica Ez (un.k.una. una integral elíptica completa).
En general, la fórmula resultante no simplifica aún más, pero cuando
Ez CM (complejo de multiplicación) de sus períodos pueden ser expresadas
en términos de funciones gamma. Por z=−27 y los otros valores especiales
enumerados anteriormente, no sólo de Ez CM, pero el CM anillo está contenida en
Z[ρ] donde ρ=e2πi/3=(−1+√−3)/2.
Entonces Γ y π factores del período de Ez exactamente
coinciden con los de la fórmula integral, lo que nos deja con
una expresión algebraica valor de f(z). Resulta que la elección z=−27
hace Ez una curva con complejo de la multiplicación por Z[7ρ].
Otros de los comentarios que se llevan a Z[mρ] m=1,2,3,5,
y los ejemplos donde z es una ecuación cuadrática irracionalidad vienen de
Z[13ρ] y Z[11ρ].
Una forma de llegar desde Cz Ez es empezar desde el cambio de variable
u3=(1+cx)/x, lo que da
f(z) = \int_{\raíz 3 \{1-z}}^\infty \frac{3u \, du}{\sqrt{(u^3+z)(u^3+z-1)}}.
e identifica a C_z con el hyperelliptic curva de v^2 = (u^3+z)(u^3+z-1).
Ahora, en general, una curva de v^2 = u^6+Au^3+B^6 tiene una involución \iota tomando
u a B^2/u, y el cociente por \iota es una curva elíptica;
se calcula que esta curva tiene j-invariante
j = 6912 \frac{(5+2r)^3}{(2-r)^3(2+r)}
donde A = rB^3. (Hay dos opciones de \iota, relacionadas por
v \leftrightarrow -v, y por lo tanto dos opciones de j, relacionadas por
r \leftrightarrow -r; pero las correspondientes curvas elípticas
son 3-isogenous, por lo que sus períodos son proporcionales.)
En nuestro caso r = A/B^3 = -(2z+1)/\sqrt{z^2+z} (en el que el
z \leftrightarrow 1-z simetría toma r - r). Tomando z=-27
los rendimientos de los j = -2^{15} 3^4 5^3 (52518123 \pm 11460394\sqrt{21}),
que son los j-invariantes de la {\bf Z}[7\rho] curvas;
trabajando hacia atrás desde los j-invariantes de los otros
{\bf Z}[m\rho] curvas nos encontramos con el valor adicional de z
señaló que en los comentarios anteriores y en esta respuesta.
