Continua asignación uno a uno de un subconjunto $K \subset \mathbb{R}^n$ de medida positiva $\mathbb{R}^{n-1}$

Question

Que $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n-1}$ ser una función continua y $K\subset \mathbb{R}^n$ un subconjunto de medida de Lebesgue positiva. ¿Es posible que $f$ uno a uno en $K$?

Si $K$ contiene un conjunto abierto (no vacío) esto es imposible debido a la invariación de Teorema del dominio. ¿Pero podemos decir cualquier cosa para arbitrarios conjuntos (medibles)?

Answer 1

Que $n = 2$, $C \subseteq \mathbf R$ un conjunto de cantor de grasa, $f \colon C \times C \to C$ un Homeomorfismo. $C \times C \subseteq \mathbf R^2$ Está cerrado, hay una continua extensión $F \colon \mathbf R^2 \to [0,1]$ por el teorema de extensión de Tietze. Ahora $\lambda(C \times C) > 0$ $F|_{C \times C} = f$ es uno a uno.