Encontrar A ^ 1000 usando el teorema de Cayley-Hamilton

Question

Me sale pegado a la siguiente pregunta:

Considerar el % de matriz $A$= $\begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} $

Buscar $A^{1000}$ utilizando el teorema de Cayley-Hamilton.

Encontrar la característica polinomial por $P(A) = -A^{3} + 2A^2 = 0$ (por Cayley-Hamilton) pero no veo cómo encontrar $A^{1000}$ por esta característica polinomial.

Answer 1

Su fórmula te dice, después se multiplica a través de $A^{997}$, que $$A^{1000}=2A^{999}.$ $ del mismo modo, $$2A^{999}=4A^{998}.$ $

Este proceso se puede repetir para encontrar $A^{1000}$ $A^2$, que puede calcular.

Answer 2

Hay otra forma de acercarse a este.

Podría dividir a $x^{1000}$ por el polinomio característico:

$x^{1000} = (-x^3+2x^2)Q+R$ donde $R$ es un polinomio de grado menor que 3 con coeficientes desconocidos.

anote $R=ax^2+bx+c$ y evaluar $R$ en las raíces del polinomio característico.

Significado, escriba $\lambda^{1000}=a\lambda ^2+b\lambda+c$

y

$\xi^{1000} = a\xi ^2+b\xi+c$

y

$\rho^{1000} = a\rho ^2+b\rho+c$

donde $\lambda$ $\xi$ $\rho$ son raíces del polinomio característico. como se puede ver, $Q$ no importa porque es multiplicado por cero.

Hacer esto para encontrar la coeffiecents del resto, $R$.

después de haber hecho esto, inserte $x=A$ conseguir $A^{1000}=aA^2+bA+c$ con el coeffiecents $a,b,c$ que encontró.

Edit: El problema aquí, es que tiene una doble raíz, por lo que necesita utilizar la derivada así.

Respuesta completa:

divida $x^{1000}$ $(-x^3+2x^2)$ para obtener:

$x^{1000} = (-x^3+2x^2)Q+ax^2+bx+c$ donde $Q$ es de algún polinomio desconocido para nosotros.

las raíces de la car. polinomio se $0,2$. poner $x=0$ para obtener:

$0^{1000}=0=0*Q+c=c$ $c=0$.

ahora se derivan $x^{1000} = (-x^3+2x^2)Q+ax^2+bx$ para obtener:

$1000x^{999}=(-3x^2+4x)Q+Q'(-x^3+2x^2)+2ax+b$ e inserte $x=0$ t oget:

$1000*0^{999} = 0 =b$ significado $b=0$.

Ahora, de vuelta a nuestra fórmula original con $b=c=0$:

$x^{1000} = (-x^3+2x^2)Q+ax^2$

Inserte $x=2$ para obtener:

$2^{1000} = 4a$ significado $a=2^{998}$.

Ahora nuestra fórmula original se parece a $x^{1000} = (-x^3+2x^2)Q+2^{998}x^2$

Inserta $x=A$ para obtener:

$A^{1000} = 2^{998}A^2$

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $$ \expo{A}=\alpha\pars{t} + \beta\pars{t} + \gamma\pars{t}^{2} $$

$$\dot{\alpha}\pars{t} + \dot{\beta}\pars{t} + \dot{\gamma}\pars{t}^{2} =A\expo{A} =\alpha\pars{t} + \beta\pars{t}^{2} + \gamma\pars{t}\ \overbrace{A^{3}}^{2A^{2}}\,, \quad \left\lbrace% \begin{array}{l} \alpha\pars{0} = 1 \\[1mm] \beta\pars{0} = \gamma\pars{0} = 0 \end{array}\right. $$

$$ \dot{\alpha}\pars{t} = 0\,,\quad \dot{\beta}\pars{t} = \alpha\pars{t}\,,\quad \dot{\gamma}\pars{t} = \beta\pars{t} + 2\gamma\pars{t} \quad\imp\quad \left\lbrace% \begin{array}{rcl} \alpha\pars{t} & = & 1 \\[1mm] \beta\pars{t} & = & t \\[1mm] \gamma\pars{t} & = & {\expo{2t} - 2t - 1 \over 4} \end{array}\right. $$

$$ \expo{A} = 1 + tA + {\expo{2t} - 2t - 1 \over 4}\,^{2} $$

\begin{align} A^{1000} &= \left.\totald[1000]{\pars{\expo{At}}}{t}\right\vert_{t = 0} =\left. {A^{2} \over 4}\, \totald[1000]{\bracks{\expo{2t} - 2t - 1}}{t}\right\vert_{t = 0} ={A^{2} \over 4}\,2^{1000} \end{align} $$ \boxed{\vphantom{\Enorme {Un \sobre B}}\quad\color{#00f}{\large Un^{1000} = 2^{998}\ A^{2}}\quad} $$

Answer 4

$$A^{1000}= A(A^3)^{333}=A (-2A^2)^{333}=(-2)^{333}A^{667}=\cdots$$