Encontrar todos los números naturales tal que $\sum_{k=1}^{n} \frac{n^k}{k!}$ es un número entero

Question

Encontrar todos los números naturales tal que $\sum_{k=1}^{n} \frac{n^k}{k!}$ es un número entero.

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He intentado traer todas las fracciones comunes bajo el denominador y no me ayudó mucho. Con adivinar me enteré de que sólo $n=1,2,3$ satisface la condición, pero no puedo demostrar que ellos son los únicos.

Traté de evaluar la serie y, a continuación, trabajar con el resultado, pero no he hecho ningún progreso.

Answer 1

Claramente $n=1$ obras. Considere la posibilidad de $n \geq 2$. $\sum_{k=1}^{n}{\frac{n^k}{k!}}$ es un número entero, por lo $(n-2)!\sum_{k=1}^{n}{\frac{n^k}{k!}}$ es un número entero.

Desde $(n-2)!\sum_{k=1}^{n-2}{\frac{n^k}{k!}}$ es un número entero, tenemos que $(n-2)!\sum_{k=n-1}^{n}{\frac{n^k}{k!}}$ es un número entero, es decir, que $\frac{n^{n-1}}{n-1}+\frac{n^n}{(n-1)n}=\frac{2n^{n-1}}{n-1}$ es un número entero.

Desde $(n-1, n)=1$,$n-1 \mid 2$, lo $n=2, 3$.