Es el casco convexo de un conjunto cerrado en $R^{n}$ está cerrado?

Question

Es convexa en el casco de conjunto cerrado en $R^{n}$ cerrado?

Answer 1

Topológicamente, el casco convexo de un conjunto abierto es siempre de la apertura, y el casco convexo de un conjunto compacto es siempre compacto; sin embargo, existen conjuntos cerrados que no han cerrado convexo cascos. Por ejemplo, el conjunto cerrado $$ \left\{(x,y):y\geq\frac{1}{1+x^2}\right\}\subconjunto\mathbb R^2 $$ tiene el abra la mitad superior del plano-como su casco convexo.

Fuente: Wikipedia.

Answer 2

Aquí es un simple contraejemplo: Vamos a $S=(\{0\} \times [0,1] ) \cup ([0,\infty)\times \{0\})$. $S$ es cerrado, ya que es la unión de dos conjuntos cerrados, sin embargo, $\operatorname{co} S = ([0,\infty) \times [0,1)) \cup \{ (0,1)\}$, lo que evidentemente no es cerrado.

Si el conjunto de $S \subset \mathbb{R}^n$ es compacto, sin embargo, el convex hull está cerrado. Esto se deduce a partir del teorema de Carathéodory que establece que cualquier punto en $\operatorname{co} S $ puede ser escrito en términos de en la mayoría de las $n+1$ elementos de $S$ (este es el convexo analógica del hecho de que cualquier $n+1$ elementos de $\mathbb{R}^n$ deben ser linealmente dependientes). Por lo tanto, podemos escribir la $\operatorname{co} S = f(S^{n+1} \times \Sigma)$ donde $f:\mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n \times \Sigma \to \mathbb{R}^n $ está definido por $f((x_1,...,x_{n+1}, \mu)) = \sum_{k=1}^{n+1} \mu_k x_k$, e $\Sigma$ es el simplex $\Sigma = \{\mu| \mu_k \ge 0, \sum_k \mu_k = 1 \}$. Desde $f$ es continua, $S^{n+1}$ $\Sigma$ son compactos, de ello se sigue que $f(S^{n+1} \times \Sigma)$ es compacto, por lo tanto cerrado.