Muy Extraño Caracterización de la Topología

Question

Definición de Topología

No entiendo esta caracterización de una topología, ni siquiera comprender lo $g\colon\{ \{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\} \rightarrow T$ debe decir? Puede alguien que me lo explique?

Answer 1

Es simplemente un intento de expresar la costumbre axiomas de la topología de una manera más "formal". Como Lord_Farin escribió, podemos escribir los conjuntos $\mathbf{0} = \emptyset = \{\}$, $\mathbf{1} = \{\mathbf{0}\} = \{\{\}\}$, y $\mathbf{2} = \{\mathbf{0}, \mathbf{1}\} = \{\{\}, \{\{\}\}\}$ el uso de von Neumann de la notación para los números enteros. Entonces el dominio de $g$ está a sólo dos puntos de set $\{ \mathbf{1}, \mathbf{2}\}$.

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Ahora, $f:I \to T$ significa que por cada $i\in I$ tenemos $(i)f \in T$ es un elemento de la topología (aquí seguimos el artículo de la Wikipedia a la ley de funciones a la derecha en lugar de a la izquierda, como de costumbre). Por lo $\cup_{I}(i)f \in T$ para cualquier conjunto $I$ y cualquier función de $f:I \to T$ es sólo una manera de decir, en anotaciones, que "$T$ es cerrado bajo arbitraria de la unión."

Por otro lado la interpretación de $g: \{\mathbf{1},\mathbf{2}\} \to T$ $(\mathbf{1})g \cap (\mathbf{2})g \in T$ acaba de decir, en anotaciones, que "$T$ es cerrado bajo de a pares las intersecciones".

Answer 2

El conjunto $\{0,1\}$ con la topología de Sierpiński, que voy a llamar a $\rm S$ tiene la siguiente propiedad : hay un bijection entre la topología $\mathcal T$ de cualquier espacio topológico $\rm X$ y las funciones continuas $\rm X \to \rm S$.

Answer 3

Esto es un poco difícil de leer cuando el formato como un comentario, pero aquí es la "motivación", en palabras de la Wikipedia usuario que hizo que cada edición en octubre de 2012.

Originalmente, la definición fue breve y sencilla. Tal vez un poco extraños en el uso de postfix y mediocre de la gramática y de la tipografía, pero no es difícil de armar. La idea es definir una topología en términos de $T$ en el primer lugar de como una colección de subconjuntos de a $X$, que no es una idea irracional.

Una topología es un conjunto $T$ tal que

1. Para todos los $I$.Para toda la función $f:I\to T$ $\cup(i)f \in T$.

2. Para toda la función $f:\{1,2\} \to T$ $(1)f\cap(2)f \in T$.

Esto fue posteriormente eliminado por otro usuario que lo describió como "un intento de definir $T$ como un conjunto de bloques abiertos en la mayoría de los ilegible manera." El anterior usuario, a continuación, restaurar el contenido, añadiendo el siguiente mensaje:

Hola,

Primero de todo quiero decir que la definición de una "topología" en lugar de un espacio Topológico es estándar (es decir, Kelley Topología General) El la definición es correcta, y se puede demostrar fácilmente que La notación (a)f en lugar de f(a) es un estándar demasiado y, de la omi, se hace hincapié en la formal la idea de una función, por así decirlo (a)f es decir en pi_1(f) donde f:=(A,f,B) así, por ejemplo, b=(a)f es decir (a,b) en el f. he corregido y suprimir el uso de la no-símbolos necesarios 1,2

La revisión actual parece ser simplemente una sarcástica respuesta (berrinche?) a la crítica. La parte que más me convence es cómo él/ella se eliminó el uso de "no es necesario" símbolos 1,2, incluso de la de enumerar la lista!