Por el teorema de completitud para la lógica de primer orden, toda teoría consistente tiene un modelo. Sin embargo, para que la palabra "modelo" tenga sentido, creo que estamos asumiendo una teoría de conjuntos. Entonces, ¿existe una teoría de conjuntos que produzca una noción de "modelo" tal que el teorema de completitud falle?
Respuestas
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El teorema de exhaustividad de Gödel, en la forma conocida en los textos básicos de lógica, dice que todo conjunto contable consistente de oraciones de primer orden (en un lenguaje estándar y contable) tiene un modelo.
Ahora bien, este teorema se puede demostrar en teorías de conjuntos extremadamente débiles. De hecho, todo lo que se necesita para demostrar el teorema es disponer de aquellos conjuntos de números naturales cuya pertenencia es recursivamente decidible más una versión débil del lema de König de que los árboles binarios infinitos tienen un camino infinito. (Y por supuesto, si es demostrable en ese sistema débil, es demostrable en cualquier sistema más fuerte: ¡añadir más axiomas a nuestra teoría no puede hacer que el teorema no sea demostrable!)
Más técnicamente, el Teorema de Completitud es demostrable en un subsistema débil de la aritmética de segundo orden llamado $\mathsf{WKL_0}$ . Los detalles se encuentran en el enciclopédico libro de Stephen Simpson Subsistemas de la segunda aritmética Puede descargarse gratuitamente el primer capítulo, en el que se recogen los titulares de estos asuntos, en http://www.math.psu.edu/simpson/sosoa/chapter1.pdf
Por lo tanto, no conseguir el Teorema de la Completitud tendría que significar el uso de un extremadamente teoría de conjuntos débil (mucho más débil, incluso, que $\mathsf{ACA_0}$ que es el mínimo necesario para reconstruir el análisis clásico).
DanV
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Si se asume $\mathsf{ZF}$ el teorema de integridad no es demostrable. Dado que la única diferencia con la teoría de conjuntos "habitual" es el hecho de que falta el axioma de elección, no hay ninguna diferencia real en la forma de definir un lenguaje, una estructura, etc. Esto significa que la noción de "modelo" es la misma.
De hecho, asumiendo $\mathsf{ZF}$ los siguientes teoremas son equivalentes:
- El teorema de completitud para la lógica de primer orden.
- El teorema de compacidad para la lógica de primer orden.
- Todo filtro puede ampliarse a un ultrafiltro.
Tenga en cuenta que si $\mathsf{ZF}$ es consistente entonces $\mathsf{ZFC}$ es consistente, por lo que tampoco podemos demostrar la negación del teorema de completitud. Sin embargo se demostró que también es consistente que el teorema de completitud falle. En el universo se puede construir un contraejemplo (a partir de un objeto cuya existencia está asegurada por axiomas adicionales, por supuesto).
