¿Cómo se puede demostrar que el tonto de la tapa no es una superficie?

Question

El tonto de la tapa de los resultados de un triángulo con el borde de la palabra $aaa^{-1}$. En el borde, un pequeño barrio es homeomórficos a tres medio-discos pegados a lo largo de sus diámetros. ¿Cómo se puede demostrar que esto no es homeomórficos a un solo disco?

Answer 1

Si usted tiene dos homotópica mapas de $f,g: S^1 \to X$, $X \cup_f D^2$ es homotopy equivalente a $X \cup_g D^2$.

Usted puede usar esto para mostrar que el tonto de la tapa es homotopy equivalente a $D^2$, y por lo tanto contráctiles. Ya no hay superficie cerrada es contráctiles (usando la clasificación de las superficies), el tonto de la tapa no es una superficie.

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$D^2$ es el cierre de la unidad de disco. Por $X \cup_f D^2$, me refiero a la pegadura $D^2$ a través del mapa de $f: S^1 = \partial D^2 \to X$. Este es el cociente del espacio de $X \sqcup D^2$ la identificación de cada punto de $\partial D^2$ con su imagen en$f$$X$. Así, en nuestro caso específico, $D^2$ es homeomórficos a $S^1$ pegado a $D^2$ bajo la identidad de mapa de $S^1 \to S^1$. Por otro lado, tenemos que el tonto de la tapa se construye mediante encolado $D^2$ $S^1$bajo el mapa de $g: S^1 \to S^1$ dada por $$ g(e^{i\theta}) = \begin{cases} exp(4 i \theta) & 0 \leq \theta \leq \pi/2\\ exp(4 i (2 \theta - \pi)) & \pi/2 \leq \theta \leq 3\pi/2\\ exp(8 i(\pi - \theta)) & 3\pi/2 \leq \theta \leq 2\pi \end{casos}$$

No es difícil mostrar que $g$ es homotópica a la identidad del mapa, y así (usando el resultado que he mencionado anteriormente), $D^2$ es homotopy equivalente al tonto de la tapa. Así que el tonto de la tapa debe ser contráctiles.

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Edit: me he dado cuenta de que la respuesta a la pregunta en el título, que no es la pregunta planteada por el OP. Para ver que el tonto de la tapa no es homeomórficos a $D^2$, usted puede simplemente tenga en cuenta que el tonto de la tapa es un disco pegado a lo largo de su límite (aunque de una forma un tanto extraña), y por lo tanto no tiene 2 dimensiones límite, mientras que$D^2$.

Answer 2

La pregunta es, esencialmente, respondió en la forma en que está planteado. No hay punto de un disco tiene un barrio homeomórficos a las tres de la mitad de los discos pegados a lo largo de sus diámetros.

La pregunta ha cambiado desde que escribí esta respuesta.

En la charla acerca de la topológico tonto sombrero, me han descrito un método simple de contratación.