La motivación detrás de la definición de la localización

Question

¿Cuál es la motivación detrás de la definición de la localización de los anillos?

De donde viene el término "localización"?

¿Por qué es la equivalencia de la relación entre los pares ordenados $(m,u),(m',u')$ $ m,m' \in M$ $u,u' \in U$ se define como $(m,u)\sim (m',u')$ si existe $v\in U$ tal que $v(u'm-um')=0$?

Aquí $M$ $R$- módulo de e $U$ es multiplicatively subconjunto cerrado de el anillo de $R$.

Answer 1

El término "localización" es tomado de la geometría. Consideremos el anillo de $R = C(\mathbb{R})$ (real continua con valores de la función en los números reales) y el conjunto de $U$ de la función que no se desvanecen en el origen. Claramente $U$ es multiplicativo. Ahora, ¿cuál es la interpretación geométrica de la $U^{-1}R$ ? Si sólo estamos interesados en el comportamiento de las funciones cerca del origen, una función que no se desvanezca en el origen no se desvanecen en algunas abrir barrio de el origen. Por lo tanto, mediante la restricción de la función a una lo suficientemente pequeño barrio, obtenemos un no-desaparición de la función y, por tanto, es posible tomar su (multiplicativo) de forma inversa. Por lo tanto, $U^{-1}R$ puede ser considerado como el resultado de la concentración de la atención a los pequeños barrios de origen y de ahí el nombre de "localización".

En general conmutativa anillo adoptamos la intuición de la geometría del caso y de pensar de los elementos del anillo como "funciones" en algunos "objeto geométrico" cuyos puntos son los principales ideales del anillo. La imagen completa de este está dado por el moderno algebro-concepto geométrico de un esquema.

Answer 2

Queremos $U^{-1}M$, la localización de $M$$U$, que consisten en "fracciones de $M$$U$"; un buen comienzo hacia esta definición es la de considerar $M\times U$, escribir $m/u$$(m,u)$. Sin embargo, esto no es suficiente: como con fracciones ordinarias, esperamos que haya varias maneras de escribir la misma fracción ($1/2 = 2/4$). Por lo tanto tenemos que imponer algunas de equivalencia de la relación. Vamos a tratar de revertir la ingeniería de dicha relación de equivalencia. Comenzar con dos fracciones son iguales: $$\frac mu = \frac{m'}{u'}$$ and "cross-multiply" to get $$mu' = mu.$$ This is a relation that can be checked in the original module $M$, and we might naively try to use this as an equivalence relation. However, we have forgotten that elements of $U$ can be cancelled; i.e. for $v\U$, we have $$\frac mu = \frac{m'}{u'} = \frac{vm'}{vu'}$$ giving the equation $$mvu' = vm'u,$$ or $v(mu' - m u)=0$. Thus we must weaken our equivalence relation on $M\times U$ to $(m,u)\sim(m',u')\iff v(m u-mu')=0$ for some $v\U$. It turns out that this is sufficient to make $M\times U/\sim$ a module in the "right" way. (satisfies some universal property, is equal to $M\otimes_R U^{-1}R$, etc.)

Comentario: El "ingenuo" de la definición es suficiente cuando $vn=0$ implica $v=0$ o $n=0$ $v\in U$, $n\in M$; por ejemplo, cuando se $M=R$ $R$ es una parte integral de dominio. En general, sin embargo, no estoy seguro de que el "ingenuo" definición incluso da una relación de equivalencia (yo voy a comprobar más tarde, pero estoy bastante seguro de que no).