Mostrar que si $r$ es una raíz enésima de a$1$$r\ne1$,$1 + r + r^2 + ... + r^{n-1} = 0$.

Question

Mostrar que si $r$ es una raíz enésima de a$1$$r\ne1$,$1 + r + r^2 + ... + r^{n-1} = 0$.

Creo que puedo representan todas las raíces de la 1 de la siguiente manera:

$r = 1^{\frac{1}{n}} ( \frac{\cos{2\pi k}}{n} + i\frac{\sin{2\pi k}}{n} )$

A partir de ahí no estoy seguro de cómo llegar a $1 + r + r^2 + ... + r^{n-1} = 0$.

Answer 1

Multiplique la parte superior e inferior por $(1-r)$.

$$1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}=\frac{(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})(1-r)}{(1-r)}=\frac{1-r^n}{1-r}=\frac{0}{1-r}=0$$

Nota: $r\neq 1$ es necesario, de lo contrario la afirmación es falsa.

Answer 2

$1 + r + r^2 + r^3 + ... + r^{n-1}$ es la suma de los primeros a $n$ términos de una serie geométrica. La fórmula de esta suma, mientras $r \ne 1$, es

$$\frac{r^n - 1}{r - 1}$$

Desde $r$ es una raíz enésima de la unidad, $r^n - 1 = 0$. Puesto que el denominador es distinto de cero, esta cantidad es igual a cero.

Espero que esto ayude!

Answer 3

Sabemos que $r^n - 1 = 0$ pero podemos factorise la LHS como $(r-1)(r^{n-1}+r^{n-2}+...+r+1)=0$.

Sin embargo $r\neq 1$, por lo que el otro soporte debe ser $0$.

Answer 4

Simplemente multiplicar la suma por $r$. Usted obtener lo mismo con el que comenzó. Desde $r \neq 1$, esto sólo es posible si su suma es $0$.

Answer 5

Recuerde que la ecuación de $r^{n}=1$ $n$ raíces en el plano complejo (porque $r^n$-1 es un polinomio de grado n). Usted sabe que una de las raíces es 1, por lo que el polinomio $r-1$ debe ser un factor de este enésimo grado del polinomio. Ahora, ¿qué pasa si se divide por $r-1$ (Asumiendo $r \neq 1$)?

$\frac{r^{n}-1}{r-1}=1+r+r^2+...+r^{n-1}$ por la división larga.

Así que esta es una verdadera ecuación de $r \neq 1$, y el lado izquierdo será 0 para cualquier otro raíz de la unidad.