Una topología en un conjunto finito $X$ es el mismo que el de un preorder: dado un preorder $\leq$, la colección de todos los conjuntos de $U$ tal que $x\in U$ $y\geq x$ implica $y\in U$ es una topología, y cada topología proviene de un único preorder de esta manera.
La condición de que cada singleton está abierta o cerrada, significa que $\leq$ es un orden parcial (es decir, $x\leq y$ $y\leq x$ implica $x=y$) y cada elemento de a $X$ es un mínimo elemento o un elemento maximal. Ahora supongamos $x$ es un elemento maximal que no es mínima y $y$ es un mínimo elemento que no es maximal. Si $\{x,y\}$ es abierto, entonces ningún elemento distinto de $x$$>y$, y desde $y$ no es maximal, debemos tener $x>y$. Del mismo modo, si $\{x,y\}$ está cerrada, $y<x$ $y$ es el único elemento que es $<x$. Así que debemos tener $x>y$ y, o bien $x$ es el único elemento $>y$ o $y$ es el único elemento $<x$.
Ahora sigue fácilmente que no debe haber más de un elemento maximal que no es mínima o en el más mínimo elemento que no es maximal. Supongamos $x$ es el único elemento maximal que no es mínima. A continuación, cada mínimo elemento que no es la máxima debe ser $<x$, y esto determina completamente el orden. En detalle, se puede dividir $X=A\cup B\cup\{x\}$ donde $A$ es el conjunto de puntos que son de máxima y de mínima, y el $B$ es el conjunto de puntos que son mínimas, pero no máxima, y luego el fin de la relación en $X$ está definido por $s<t$ fib $t=x$$s\in B$. Dualmente, si $X$ tiene un único mínimo elemento $y$ que no es maximal, podemos dividir $X=A\cup C\cup\{y\}$, e $X$ es ordenado por $s<t$ fib $s=y$$t\in C$. Por último, si $X$ no tiene un mínimo elemento que no es máxima o máxima elemento que no es mínima, entonces $X$ tiene el trivial pedido (es decir, cualquiera de los dos elementos distintos de a $X$ son incomparables).
Se puede comprobar que en los tres casos, cada subconjunto de $X$ está abierto o cerrado. En el caso de que $X=A\cup B\cup\{x\}$, un conjunto es abierto si contiene $x$, y cerrado si no contiene $x$. En el caso de que $X=A\cup C\cup\{y\}$, un conjunto es cerrado si contiene a $y$, y abrir, si no contiene $y$. En el caso de que $X$ tiene el trivial fin, cada conjunto es abierto y cerrado.
