¿Por qué la frase: "Si $(3)_\mathfrak p$ tiene una solución $y_\mathfrak p$$\overline K_\mathfrak p(x)$, $(3)_\mathfrak p$ tiene también una solución de $\tilde y_\mathfrak p$$\overline K_\mathfrak p[x]$." de pie?
Suponga que hay una solución racional, que siempre puede ser escrito $y_\mathfrak p = \prod_i(x-\alpha_i)^{c_i}$ algunos $c_i \in \mathbb Z\setminus 0$.
Suponga que $\overline K_\mathfrak p$ tiene características de las $p > 0$ ( $p\in\mathfrak p$ ). La ecuación de $(D-Q)y = 0$ es lineal, y las soluciones forman un módulo sobre $\overline{K}_\mathfrak p[x^p]$ porque $D(x^p) = 0$. A continuación, para todos los $n > 0$, los elementos $(x-\alpha_i)^{p^n} = x^{p^n} - \alpha_i^{p^n}$$\overline{K}_p[x^p]$, de modo que usted puede obtener una nueva solución de $\tilde y_p$ sólo por la eliminación de los denominadores de $y_p$, es decir, teniendo
$$\tilde y_\mathfrak p =\prod_i (x-\alpha_i)^{p^{n_i}}$$ where $n_i$ are chosen so that $p^{n_i} \geq-c_i$.
Nota: no he dicho nada acerca de lo que sucede cuando $\mathfrak p$ no tiene un residuo de campo de característica positiva.
AÑADIÓ:
Explicación de $\beta \in \mathbb Q$.
Él utiliza ($\star$) a la conclusión de que la $\beta \in \mathbb Q$. La manera en que uno debe utilizar ($\star$) es tomar el campo de número de ( $\star$ )$\mathbb Q(\beta)$, por lo que la conclusión de ( $\star$ )$\mathbb Q(\beta) = \mathbb Q$, es decir,$\beta \in \mathbb Q$. Así, sólo tenemos que ver por qué casi todos los números primos en $\mathbb Q(\beta)$ son de grado uno. Vamos a llamar a $F := \mathbb Q(\beta)$
Ya habiendo pasado a un adecuado campo de la extensión tal que $\beta \in K$, hay una inclusión de $F \hookrightarrow K$. También, a partir de Honda prueba de que se sabe que $\beta$ es un racionales enteros modulo $\mathfrak p_K$ para todos, pero un número finito de números primos de $K$.
Denotar $\mathfrak p_F := F \cap \mathfrak p_K$ el primer de $F$ acostado en $\mathfrak p_K$. Desde el mapa de $\mathcal O_F/\mathfrak p_F \to \mathcal O_K/\mathfrak p_K$ preserva $\beta$ (es decir, envía a$\beta +\mathfrak p_F \mapsto \beta + \mathfrak p_K$), $\beta$ es también un racionales enteros modulo $\mathfrak p_F$ (nada especial sucediendo aquí: morfismos de los campos siempre están inyectiva, la preimagen de un número entero es un número entero, etc.).
Acabamos de comprobar que las $\beta$ es un racionales enteros modulo $\mathfrak p$ para casi todos los números primos $\mathfrak p \subseteq \mathcal O_F$. (El único de los números primos para que $\beta$ no es un racional entero son los que se extiende bajo la un número finito de números primos en $K$ desde arriba.)
Todo lo que queda es preguntar: si $\beta$ es un racionales enteros modulo $\mathfrak p_F$, entonces ¿por qué debe $\mathfrak p_F$ tienen un grado? Básicamente esto es sólo debido a que cada elemento de a $a \in F$ (en particular, cada elemento de la $\mathcal O_F$) puede ser escrita como una suma $$a = \sum_{i=0}^n a_i\beta^i,$$ which, modulo $\mathfrak p_F$, becomes a sum of rational integers. So $\mathcal O_F/\mathfrak p_F$ es igual a su anillo de racionales enteros, es decir, es una cuestión de grado uno.
AGREGADO: (preguntas varias)
podría usted explicarme lo que es un residuo de campo?
Empezamos con $\mathfrak p$ un prime en $K$ - esto en realidad significa un alojamiento ideal en el anillo de enteros algebraicos $\mathcal{O}_K\subseteq K$. Para obtener el residuo de campo, primero localizar $(\mathcal O_K)_\mathfrak p$, de modo que $\mathfrak p_\mathfrak p \subseteq (\mathcal O_K)_\mathfrak p$ es ahora un máximo ideal, entonces el cociente por $\mathfrak p_\mathfrak p$ para obtener un campo. Esto es lo que generalmente se llama el residuo de campo. Parece que Honda está tomando luego la algebraicas cierre de esta.
Por ejemplo, tal vez su campo de número es trivial, es decir, sólo $\mathbb Q$, entonces el anillo de enteros es $\mathbb Z$; su principal podría ser $(p)$ para algunos el primer número $p$. A continuación, el residuo de campo es $\mathbb Z_{(p)}/(p)_{(p)} \cong \mathbb F_p$.
O tal vez su campo de número de es $\mathbb Q(i)$, con algebraica de los números enteros $\mathbb Z[i]$. Tiene primos de grado $1$ como $\mathfrak p = (1+i)$ con residuos de campo $\mathbb Z[x]/(x+1, x^2 +1) = \mathbb Z[x]/(x+1, 2) \cong \mathbb F_2$, $\mathfrak p = (2+i)$ con residuo de campo $\mathbb F_5$, y los primos de grado 2 como $\mathfrak p = 0$ con residuos de campo $\mathbb Q(i)$ $\mathfrak p = (3)$ con residuos de campo $\mathbb Z[i]/3 = \mathbb F_3(i) \cong \mathbb F_9$.
¿Por qué una solución racional escribirse $y_\mathfrak p= \prod_i (x−\alpha_i)^{c_i}$ algunos $c_i\in \mathbb Z\setminus 0$?
No hay ningún contenido real aquí, sólo porque se han pasado a la clausura algebraica $\overline{K}_p$ los polinomios dividido en productos de factores lineales.
Lo que hace la ecuación de $(D−Q)y=0$ representan?
Yo erróneamente llamada la función racional $P$ a partir del problema $Q$ lugar. Si la ecuación original es $y' = Qy$, e $D$ denota la diferenciación operador, entonces la ecuación es $Dy = Qy$ o $(D-Q)y = 0$.
¿Qué significa que las soluciones forman un módulo sobre $\overline K_\mathfrak p[x^p]$?
Sólo significa que (1) si $y_1, y_2$ son ambas soluciones a $(D-Q)y = 0$, entonces también lo son la $y_1 \pm y_2$ (las soluciones forman un grupo abelian), y (2) si $y_1$ es una solución, entonces se $y_2 := x^py_1$ también va a ser una solución. (Esto es debido a que $D(x^py) = x^pD(y)$.) Esto implica que, dado cualquier $f \in \overline K_\mathfrak p$ y la solución $y_1$, $y_2 := f\cdot y_1$ también es una solución.
