En $\pi$ ¿abarcando una red infinita?

Question

Esto es similar a un paseo aleatorio utilizando $\pi$ como entrada.

Considere la posibilidad de dar pasos en una cuadrícula infinita basada en los dígitos de $\pi$ (aunque podríamos utilizar cualquier número). Si expresamos el número en base $8$ y, a continuación, cada dígito $0$ a $7$ representa un paso a uno de los $8$ vecinos incluyendo las diagonales (base 4 sería una alternativa con arriba/abajo izquierda/derecha). Un posible mapeo de estos pasos podría ser desde la posición actual (o píxel) $P$ a uno de estos vecinos como $$ \begin{array} \\ \hline 0 & 1 & 2 \\ 7 & P & 3 \\ 6 & 5 & 4 \\ \hline \end{array} $$ Considerando $\pi$ en base 8 tenemos $$ \pi_8 = 3.1103755 \dots $$ por lo que el primer paso sería una celda a la derecha (3). El segundo y tercer paso se mueven una celda hacia arriba (1). El cuarto paso se mueve hacia arriba y hacia la izquierda, $etc$ .

Los primeros 1022 pasos (que comienzan en la posición verde y terminan en la negra) tienen este aspecto:

Mientras discutíamos sobre este juego, un amigo mío afirmaba que mientras continuábamos los pasos hacia el infinito, $\pi$ llenaría el avión. Claramente es una afirmación audaz, y sospecho. ¿Es demostrable? Si no funciona en la base $8$ ¿podría funcionar en la base $4$ caso en el que nos movemos hacia arriba/abajo o hacia la derecha?

Answer 1

Sospecho que su amigo está pensando lo siguiente: los dígitos de $\pi$ son "básicamente aleatorios", por lo que el paseo generado por $\pi$ debe ir "por todos lados". Hay que tener en cuenta dos aspectos:

• ¿Cómo de aleatorio es $\pi$ ?

y

• ¿Cómo se comportan los paseos aleatorios?

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Permítanme empezar por la segunda pregunta, porque es más fácil de responder. Nos olvidamos de los dígitos de $\pi$ En su lugar, imaginemos que tenemos un dado justo que lanzamos, con un número apropiado de caras, y que lo utilizamos para generar un paseo aleatorio. ¿Qué sucede?

Ignoremos la base $8$ por el momento; las bases $4$ y $2$ son más fáciles de visualizar. En la base $2$ nos movemos a la izquierda/derecha en una línea; en la base $4$ nos movemos arriba/abajo/izquierda/derecha en el plano. En cualquier caso, nos movemos en un celosía . Del mismo modo, la base $6$ es un entramado cúbico (arriba/abajo/izquierda/derecha/adelante/atrás), etc. En general, la base $2n$ versión es un paseo en el $n$ -cúbico de la red.

Así que arreglar $n$ , y rodar un $2n$ -sin duda alguna, un dado de lado repetidamente. ¿Cuál es la probabilidad de "llenar el espacio"?

Sorprendentemente, la dimensión importa ¡! En concreto, si $n=1$ o $n=2$ la respuesta es $1$ (es casi seguro que llenamos el espacio), mientras que si $n\ge 3$ la respuesta es $0$ (es casi seguro que no llenamos el espacio). Véase Teorema de recurrencia de Polya .

Así que si creemos $\pi$ "se comporta aleatoriamente" (sea lo que sea que eso signifique, por el momento), entonces debemos creer que la versión de base-4 de $\pi$ llena el plano, y la versión de base-2 llena la línea; pero la versión de base-6 probablemente no lo hace llenar el espacio 3d, y así sucesivamente.

¿Y la base? $8$ versión que tienes, que realmente no encaja en este patrón cúbico? Bueno, aún así llenará el espacio con probabilidad $1$ pero eso requiere un poco de trabajo.

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De acuerdo, ¿y qué hay de la segunda pregunta? cómo de aleatorio es $\pi$ ?

Digamos que un número real $r$ es simplemente normal a la base $b$ si, en la base- $b$ expansión de $r$ cada uno de los posibles $b$ -aparecen muchos dígitos ${1\over b}$ de la época. (Es decir, $$\lim_{n\rightarrow\infty}{\mbox{number of occurrences of $ d $ in the first $ n $ base-$ b $ digits of $ r $}\over n}= {1\over b},$$ para cada dígito $d$ .) Por ejemplo, la constante de Champernowne es simplemente normal a base $10^k$ por cada $k$ . Un número $r$ es absolutamente normal si es simplemente normal a cada base; esto implica que cada secuencia de $k$ dígitos en base $b$ aparece la proporción "correcta" del tiempo en la base- $b$ expansión de $r$ (considere la base $b^k$ ).

Se cree firmemente que $\pi$ (y muchos otros números reales interesantes) son absolutamente normales, pero esto sigue estando muy abierto. Actualmente, ni siquiera conocemos un solo ejemplo "natural" de un número real que sea absolutamente normal. (Sí conocemos ejemplos explícitos, como por ejemplo este documento de 2002 de Becher - pero son muy artificiales). Sin embargo, nosotros también saber que "la mayoría" (medida- $1$ ) ¡los números reales son absolutamente normales! Básicamente, si se determinan los dígitos de un número real lanzando una moneda apropiada, con probabilidad $1$ el resultado es absolutamente normal.

Hasta donde yo sé, no se sabe si $\pi$ es simplemente normal para cualquier base, o incluso si cada dígito ocurre infinitamente en $\pi$ para en cualquier base específica $>2$ . Como se ha dicho en los comentarios anteriores, la normalidad absoluta es casi seguramente exagerada para demostrar que el paseo de 2d llena el plano con probabilidad $1$ (ver la respuesta de Robert Israel más abajo), pero no creo que hayamos demostrado una cantidad suficiente de "aleatoriedad" sobre $\pi$ .

Answer 2

Equiprobabilidad en base $8$ no es necesario, ya que podría recorrer el plano con, por ejemplo, dígitos $1,4,6$ .

Y la normalidad no es suficiente: considere una secuencia que es aleatoria excepto que cuando el caminante golpearía de otra manera $[1,0]$ se cambia el dígito. Aunque esto requerirá cambiar infinitamente muchos dígitos (porque un caminante aleatorio en el plano golpeará $[1,0]$ infinitas veces), la fracción de dígitos a cambiar pasa a $0$ (asintóticamente, la probabilidad de que el caminante aleatorio esté en $[1,0]$ en el momento $t$ disminuye como $1/t$ ), para que estos cambios no afecten a la normalidad en ninguna base.