Director de ideal de dominio no euclidiana

Question

¿Alguien puede dar un ejemplo de un director de ideal de dominio que no es Euclidiana y no es isomorfo a $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-a}}{2}]$, $a = 19,43,67,163$?

Creo que es la conjetura de que ningún otro entero anillos de los campos de número de esta propiedad. ¿Qué pasa con otros anillos?

Answer 1

Un simple ejemplo de un no-Euclidiana PID es $ K[[x,y]][1/(x^2\!+\!y^3)]\,$ sobre cualquier campo de $\,K,\,$ es decir, se acuestan por la inversa de a $\,x^2\!+\!y^3$ a un bivariante de alimentación de la serie anillo de más de un campo. Para la prueba, y, en general, el método de construcción ver

D. D. Anderson. Un teorema de existencia para los no-euclidiana PID,
Comunicaciones en Álgebra, 16:6, 1221-1229, 1988.

Para el número de anillos, por Weinberger (1973), suponiendo que la GRH, un UFD número anillo R con infinidad de unidades es la Euclídea, por ejemplo, real cuadrática número de anillos se Euclidiana $\!\iff\!$ PID $\!\iff\!$ UFD.