Potencia entera de la fracción nunca es de dos

Question

Para cualquier

$$\forall a,b,n \in\mathbb{N}\wedge n\ge 2\Rightarrow\Big(\frac{a}{b}\Big)^{n}\ne 2$$

Aquí está mi prueba de ello :

Hay $3$ posibilidades:

• $a = b$
• $a > b$

• $b < a$

• $ a = b $ si dos números son iguales, su relación es $1$ $1^n$ siempre $1$, e $$1 \neq 2$$

• $ a < b $ A un pequeño número dividido por un mayor número es menor que uno, y un número menor que uno, cuando planteó a entero el poder solo puede hacerse más pequeña, por lo que no puede ser $2$.

• $ a > b $ Tomando el $n$-ésima raíz en ambos lados:

$$\frac{a}{b} = \sqrt[n]{2}$$

Como el $n$-ésima raíz cuadrada de dos no puede nunca ser expresado como una proporción (Pitágoras demostró creo), esta posibilidad es Falso también.

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Es mi prueba sensible? Es riguroso? Es totalmente correcto? Es el último elemento de mi pasado demasiado grande y complejo para ser utilizado en algo tan simple?

Busco cualquier sugerencia, mejora o corrección.

Answer 1

Deje $$\left(\frac ab\right)^n=2$$ o $$a^n=2b^n,$$ where $a,b$ no tienen ningún factor común (de lo contrario puede ser simplificado).

La última ecuación muestra que $a^n$ es incluso. Así es $a$, como números impares dado sólo impar poderes. A continuación, $a^n$ es un múltiplo de a $2^n$ $a^n/2$ es un múltiplo de a $2^{n-1}$, es decir, incluso ($n>1$). A continuación, $b^n$ es aún y así es $b$.

$a$ $b$ son ambos, incluso, una contradicción.

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Segunda prueba:

Deje $a^n=2b^n$, y denotan $\alpha$ $\beta$ de los exponentes de la $2$ en el primer descomposiciones de $a$$b$.

Entonces, como la descomposición es siempre único, $$(2^\alpha\cdot p)^n=2\cdot(2^{\beta}\cdot q)^n$$implica $$\alpha n=\beta n+1$ $ , que es imposible.

Answer 2

Tenga en cuenta que la prueba de la $a>b$ de los casos es todo lo que usted necesita como su razonamiento se aplica a los otros dos casos, por lo que sin duda puede acortar la prueba.

El hecho de que usted cita es en realidad un paso en el estándar de prueba de que $\sqrt[n]2$ es irracional. Como tal, usted probablemente debería demostrarlo a partir de primeros principios para evitar cualquier lógica circular.

Has visto la prueba de que $\sqrt 2$ es irracional? Puedes adaptar esta prueba para este caso más general?

Answer 3

La prueba para los dos primeros casos son perfectos.

Para el caso de $a>b$ ; usted puede hacer esto,en caso de que usted no tiene la prueba de que :
$\sqrt[n]{2}$ es irracional para $n\ge 2$ (como Mathmo123 dice , es necesaria)

$$(a/b)^n ={a^n}/{b^n}=2$$ $$or, a^n=2.b^n$$

Como $2$ es un número primo , esta ecuación anterior nos dice que, en $2|a$. Deje $$a=2k$$ A continuación, $$2^n.k^n=2.b^n$$ $$2^{n-1}.k^n=b^n$$

De nuevo, esto significa $$2|b$$ as well so let $$b=2j$$ A continuación, llegamos $$2^{n-1}.k^n=2^n.j^n$$ $$or\ \ \ , k^n=2.j^n$$

El mismo procedimiento aplicado a su vez, muestra que $$a=2^s\ \ \ and\ \ \ b=2^l\ \ \ for\ \ \ some\ \ \ s,l\in \mathbb N$$

A continuación, $${(a/b)}^n={({2^s}/{2^l})}^n = (2^{s-l})^n=2^{ns-n}$$

Así que esta puede ser $2$ fib $$n(s-l)=2$$

Ahora $2$ ser un primo , tenemos $2$ posibilidades :

• $n=2$,$s-l=1$

• $n=1$,$s-l=2$ Ambos de ellos da $$(a/b)^n = 4\neq 2$$ de Modo que lo tengamos .Demostró .

Answer 4

Si $(a/b)^n=2$,$a^n=2b^n$. Pretendemos que el único entero solución a esta ecuación es al $a=b=0$.

Vamos a probar esta contradicción. Supongamos que hay un no-cero de la solución de $(a,b)$. Elegir una solución con un valor mínimo de $|a|+|b|$. Desde $2b^n$ es incluso, se deduce que el $a^n$ debe ser par, y por lo tanto $a$ es también incluso. Ahora podemos escribir $a=2c$ para obtener ese $(2c)^n=2b^n$, por lo que la cancelación de una $2$ desde ambos lados de los rendimientos de $b^n=2^{n-1}c^n$. Por lo tanto, $b$ es aún, por lo $b=2d$ para algunos entero $d$, lo que da $$ 2^nd^n=2^{n-1}c^n\implica c^n=2d^n. $$ Así, hemos obtenido una solución de $(c,d)$ a la ecuación original, que es estrictamente menor, en el sentido de que $$|c|+|d|=\frac{|a|+|b|}{2}<|a|+|b|.$$

Por lo tanto, no existe ningún entero distinto de cero solución de la ecuación.