Encontrar la suma de la siguiente serie de n términos de $$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{2^2}{3\cdot5}+\frac{3^2}{5\cdot7}+\dots$$
Mi intento:
$$T_{n}=\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}$$
Soy incapaz de representar a seguir adelante. Aunque estoy seguro de que habrá algún método de diferencia disponible para expresar la ecuación. Por favor, explique los pasos a seguir y comentar sobre la técnica a utilizar con ese tipo de preguntas.
Gracias de antemano !
Usted puede calcular la fracción parcial de la descomposición de $T_n$; $$T_n = \frac18 \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} + 2 \right)$$
A continuación, se puede separar la suma de a tres en suma :
$$\sum_{n=1}^N T_n = \frac18 \left( \sum_{n=1}^N \frac{1}{2n-1} - \sum_{n=1}^N\frac{1}{2n+1} + \sum_{n=1}^N2 \right)$$ $$ = \frac18 \left( \sum_{n=2}^N \frac{1}{2n-1} - \sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{2n+1} + \sum_{n=1}^N2 + 1 - \frac{1}{2N+1}\right)$$ $$ = \frac18 \left( \sum_{n=1}^N2 + 1 - \frac{1}{2N+1}\right)$$ $$ = \frac18 \left( 2N + 1 - \frac{1}{2N+1}\right)$$ $$ = \frac18 \left( \frac{4N^2 +4N }{2N+1}\right)$$ $$ = \frac{N^2 +N}{2(2N+1)}$$
El uso de fracciones parciales para obtener $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)} &=\sum_{k=1}^n\frac18\left(2+\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)\\ &=\frac n4+\frac18-\frac1{16n+8}\\[3pt] &=\frac{(n+1)n}{4n+2} \end{align} $$ donde terminamos sumando un telescópico de la serie.
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