son estas dos fracciones continuas equivalentes?

Question

Me gustaría plantear la siguiente conjetura.Dado

$$\phi(q) =\cfrac{1}{1-q+\cfrac{q(1-q)^2}{1-q^3+\cfrac{q^3(1-q^2)^2}{1-q^5+\cfrac{q^5(1-q^3)^2}{1-q^7+\ddots}}}}$$

y

$$\psi(q)=\cfrac{-q}{1-q+\cfrac{q(1-q)^2}{1-q^3+\cfrac{q(1-q^2)^2}{1-q^5+\cfrac{q(1-q^3)^2}{1-q^7+\ddots}}}}$$

A continuación, demostrar/refutar que los dos continuaron fracciones son equivalentes

$$\phi(q)=\psi\left(\frac{1}{q}\right)$$

Answer 1

Así que con la manipulación formal:

$$\psi(1/q)= \frac{-q^{-1}}{1-q^{-1}+ \frac{q^{-1}(1-q^{-1})^2}{1-q^{-3}+\ldots}}$$

Veces superior e inferior por $-q$ dar:

$$\psi(1/q)= \frac{1}{1-q+ \frac{-qq^{-3}(1-q)^2}{1-q^{-3}+\frac{q^{-1}(1-q^{-2})^2}{1-q^{-5}+\ldots}}}$$

Luego mutiply parte superior y la parte inferior de la siguiente fracción por $-q^3$ dar:

$$\psi(1/q)= \frac{1}{1-q+ \frac{q(1-q)^2}{1-q^{3}+\frac{-q^3q^{-5}(1-q^{2})^2}{1-q^{-5}+\ldots}}}$$

A continuación, los tiempos de $-q^5$ da

$$\psi(1/q)= \frac{1}{1-q+ \frac{q(1-q)^2}{1-q^{3}+\frac{q^3(1-q^{2})^2}{1-q^{5}+\frac{-q^5q^{-7}(1-q^3)^2}{1-q^{-7}+\ldots}}}}$$

Por lo tanto, dejar el primer denominador ser la línea $1$, a continuación, en la línea $n$ asumimos que tenemos un factor de $-q^{2n-1}$ que corrige el primer término. En el segundo término, es decir, la parte superior de la nueva denominador que es la línea $n+1$, sacamos un factor de $q^{-n}$ que los tiempos de la $1\over q$ hace $q^{-2n-1}$. A continuación, llevar este factor con el signo de menos, a través de la siguiente línea.

Me imagino que sin embargo esta es la realidad, ¿por qué pensaste que era verdad, en primer lugar y se busca más una prueba donde el uso de la serie y las propiedades de convergencia de la generalizada fracciones continuas. Pero a partir de la formal algebraica punto de vista de encima parece cierto.