Mostrar que el conjunto de $\{x \in \mathbb{R}| \lim_{n \to \infty} \sin(a_n x) \mbox{ exists}\}$ tiene medida cero

Question

$a_n$ es una secuencia de números reales tales que a $a_n \to +\infty$. Mostrar que el conjunto de $E = \{x \in \mathbb{R}| \lim_{n \to \infty} \sin(a_n x) \mbox{ exists}\}$ cero (Lebesgue) medida.

La sugerencia para el ejercicio dice "de Riemann-Lebesgue lema y el teorema de convergencia dominada". Pero para empezar, no tengo idea de cómo mostrar que $E$ es medible (o finito de medida).

Answer 1

Si $\lim_{n\to \infty}\sin (a_n x)$ existe en un conjunto de medida positiva, entonces por Egorova del teorema usted puede encontrar un conjunto de $E$ $0<m(E)<\infty$ tal que $f_n(x)=\sin (a_n x)$ converge uniformemente en $E$ a una función medible $f(x)$.

Luego por la de Riemann-Lebesgue lema debemos tener $\int _F \sin (a_n x) dx \to 0 $ para cualquier subconjunto medible $F$$E$. Pero también, por la convergencia uniforme tenemos $\int_F \sin (a_n x)dx \to \int_F f(x) dx$ para cualquier conjunto medible $F\subset E$. Por lo tanto, $\int_F f=0$ todos los $F\subset E$, lo que implica que $f\equiv 0$$E$.

Ahora, observa que el $\sin^2 (a_nx)$ también converge uniformemente a$0$$E$, por lo tanto $$0 = \lim_{n\to\infty} \int_E \sin^2(a_nx) dx= \lim_{n\to\infty} \int_E (1-\cos(2a_nx))/2 dx = m(E)/2$$ debido a $\int_E \cos(2a_nx)dx \to 0$ por la de Riemann-Lebesgue lema.

Sin embargo, esto es una contradicción, ya que $m(E)$ fue asumido para ser $>0$.

Nota: En realidad, en lugar de utilizar Egorova del teorema y de la convergencia uniforme, sólo se puede utilizar el teorema de convergencia dominada, desde $\sin(a_n x)$ está acotada.

Answer 2

Para cualquier secuencia $f_n$ de funciones medibles, el conjunto $\{x: \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ \text{exists}\}$ es medible. Por ejemplo, usted puede escribir como

$$ \bigcap_{m \in \mathbb N} \bigcup_{N \in \mathbb N} \bigcap_{i,j>N} \{x: |f_i(x) - f_j(x)| < 1/m \}$$