Resolver la ecuación de diophantine $3^x + 5^y = 7^z + 11^w$aquí $x,y,z,w$ son todos los enteros no negativos.
Encuentro tres soluciones por la fuerza algoritmo de uso de Mathematica: (0,0,0,0)(1,1,1,0)(1,3,1,2).Y no hay ninguna otra cosa al $y,z,w<100$.
Gracias de antemano.
No tengo acceso a ese artículo se hace referencia en los comentarios a la respuesta de @Lord_Farin (Si alguien tiene acceso, me interesaría saber si el enfoque es el mismo que el mío.)
Muchos de estos exponencial Diophantine ecuaciones puede ser resuelto sistemáticamente a través de la aritmética modular, aunque mucho de ello. La idea principal es considerar la ecuación de $\pmod{p^k}$ $\pmod{q_k}$ donde $p$ es uno de los primos que aparecen en la ecuación, y $q_k=mp^{k-1}+1$, e $m$ tiene pequeños factores primos. Si todas las soluciones tienen el poder de $p$ menos de lo que algunos entero $n$, luego de repetir este procedimiento hasta el $k=n$ probablemente le dará una contradicción. Esto nos permite obligado a los exponentes, por lo que basta con revisar los casos pequeños. Por ejemplo, podemos sucesivamente considerar $\pmod{3}, \pmod{9}, \pmod{7}, \pmod{27}, \pmod{19}, \pmod{81}, \pmod{109}$, etc. Para más ejemplos, ver mis respuestas aquí y aquí.
Vamos a continuar con la prueba:
$$3^x+5^y=7^z+11^w$$
Si $x=0$, entonces si $y \geq 1$, teniendo en $\pmod{5}$ da $0 \equiv 7^z \pmod{5}$, una contradicción. Por lo tanto $y=0$, lo $2=7^z+11^w$, lo $z=w=0$. Esto le da a la solución de $(x, y, z, w)=(0, 0, 0, 0)$.
De lo contrario,$x \geq 1$. Tomando $\pmod{3}$,$(-1)^y \equiv 1+(-1)^w \pmod{3}$. Por lo tanto $w$ es incluso y $y$ es impar. Esto implica que $y \geq 1$.
Tomando $\pmod{4}$, $(-1)^x+1 \equiv (-1)^z+(-1)^w \equiv (-1)^z+1 \pmod{4}$, por lo $x \equiv z \pmod{2}$.
Tomando $\pmod{5}$,$3^x \equiv 7^z+1 \pmod{5}$. Por lo tanto,$(x, z) \equiv (1, 1), (2, 3), (3, 0) \pmod{4}$. Desde $x \equiv z \pmod{2}$, necesariamente debemos tener $x \equiv z \equiv 1 \pmod{4}$. Esto implica que $z \geq 1$.
Tomando $\pmod{16}$, obtenemos $3+5^y \equiv 3^x+5^y \equiv 7^z+11^w \equiv 7+11^w \pmod{16}$. Esto implica que $(y, w) \equiv (1, 0), (3, 2) \pmod{4}$.
Tomando $\pmod{7}$, ahora tenemos $3^x+5^y \equiv 4^w \pmod{7}$. Esto le da a $$(x, y, w) \equiv (1, 1, 0), (1, 3, 2), (3, 1, 4), (3, 5, 2), (5, 3, 4), (5, 5, 0) \pmod{6}$$
Consideremos $x \geq 2$ primero, y tome $\pmod{9}$. Llegamos $5^y \equiv (-2)^z+2^w \pmod{9}$. Esto le da a $$(y, z, w) \equiv (5, 1, 2), (1, 1, 4), (3, 1, 0), (1, 3, 2), (3, 3, 4), (5, 3, 0), (3, 5, 2), (5, 5, 4), (1, 5, 0) \pmod{6}$$
La combinación, tenemos $$(x, y, z, w) \equiv (1, 1, 5, 0), (1, 3, 5, 2), (3, 1, 1, 4), (3, 5, 1, 2), (5, 3, 3, 4), (5, 5, 3, 0) \pmod{6}$$
La combinación de con $(y, w) \equiv (1, 0), (3, 2) \pmod{4}$ le da:
$$(x, y, z, w) \equiv (1, 1, 5, 0), (1, 7, 5, 6), (1, 3, 5, 2), (1, 9, 5, 8), (9, 1, 1, 4), (9, 7, 1, 10), (9, 5, 1, 8), (9, 11, 1, 2), (5, 9, 9, 4), (5, 3, 9, 10), (5, 5, 9, 0), (5, 11, 9, 6) \pmod{12}$$
Ahora revisamos $\pmod{13}$, y vamos a obtener una contradicción. Desde $\varphi(13)=12$, es suficiente para comprobar el 12 de cuatrillizos arriba.
\begin{align} 3^1+5^1-7^5-11^0 \equiv 9 \pmod{13} \\ 3^1+5^7-7^5-11^6 \equiv 1 \pmod{13} \\ 3^1+5^3-7^5-11^2 \equiv 9 \pmod{13} \\ 3^1+5^9-7^5-11^8 \equiv 1 \pmod{13} \\ 3^9+5^1-7^1-11^4 \equiv 9 \pmod{13} \\ 3^9+5^7-7^1-11^{10} \equiv 5 \pmod{13} \\ 3^9+5^5-7^1-11^8 \equiv 3 \pmod{13} \\ 3^9+5^{11}-7^1-11^2 \equiv 11 \pmod{13} \\ 3^5+5^9-7^9-11^4 \equiv 3 \pmod{13} \\ 3^5+5^3-7^9-11^{10} \equiv 12 \pmod{13} \\ 3^5+5^5-7^9-11^0 \equiv 5 \pmod{13} \\ 3^5+5^{11}-7^9-11^6 \equiv 10 \pmod{13} \end{align}
Ya que ninguno de los cuatrillizos dar $0 \pmod{13}$, se obtiene una contradicción.
Por lo tanto,$x=1$, y ahora tenemos la ecuación de $$3+5^y \equiv 7^z+11^w$$
La consolidación de la información de que disponemos hasta el momento, hemos $y, z \geq 1$, $z \equiv 1 \pmod{4}$, $(y, w) \equiv (1, 0), (3, 2) \pmod{4}$ y (ya que $x=1$) $(y, w) \equiv (1, 0), (3, 2) \pmod{6}$.
Tomando $\pmod{9}$, obtenemos $3+5^y-11^w \equiv 7^z \pmod{9}$, por lo que si $(y, w) \equiv (1, 0) \pmod{6}$,$7^z \equiv 3+5^1-11^0 \equiv 7 \pmod{9}$. Si $(y, w) \equiv (3, 2) \pmod{6}$,$7^z \equiv 3+5^3-11^2 \equiv 7 \pmod{9}$. En cualquier caso, $7^z \equiv 7 \pmod{9}$, lo $z \equiv 1 \pmod{6}$.
Tenga en cuenta que $7^6 \equiv 1 \pmod{43}$, por lo que tomar $\pmod{43}$ da $3+5^y \equiv 7^z+11^w \equiv 7+11^w \pmod{43}$, que se simplifica a $5^y \equiv 4+11^w \pmod{43}$. Tenga en cuenta que $5^6 \equiv 16 \pmod{43}, 11^6 \equiv 4 \pmod{43}$.
Si $(y, w) \equiv (1, 0) \pmod{6}$, puesto $y=6a+1, w=6b$, con lo que conseguimos $5(16)^a \equiv 4+4^b \pmod{43}$, y se nota que es suficiente para comprobar $a, b \pmod{7}$. Al $a=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$, tenemos $$5(16)^a \equiv 5, 37, 33, 12, 20, 19, 3 \pmod{43}$$ When $b=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$, we have $$4+4^b \equiv 5, 8, 20, 25, 2, 39, 15 \pmod{43}$$ Therefore $(a, b) \equiv (0, 0), (4, 2) \pmod{7}$, so $(y, w) \equiv (1, 0), (25, 12) \pmod{42}$.
Si $(y, w) \equiv (3, 2) \pmod{6}$, puesto $y=6c+3, w=6d+2$, con lo que conseguimos $125(16)^c \equiv 4+121(4)^b \pmod{43}$, y se nota que es suficiente para comprobar $c, d \pmod{7}$. Al $c=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$, tenemos $$125(16)^c \equiv 39, 22, 8, 42, 27, 2, 32 \pmod{43}$$ When $d=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$, we have $$4+121(4)^d \equiv 39, 15, 5, 8, 20, 25, 2 \pmod{43}$$ Therefore $(c, d) \equiv (0, 0), (2, 3), (5, 6) \pmod{7}$, so $(y, w) \equiv (3, 2), (15, 20), (33, 38) \pmod{42}$.
La combinación de da $$(y, w) \equiv (1, 0), (3, 2), (15, 20), (25, 12), (33, 38) \pmod{42}$$
Consideremos primero $z \geq 2$. A continuación, $\pmod{49}$ da $3+5^y \equiv 11^w \pmod{49}$. Vamos a obtener una contradicción. Basta comprobar los anteriores pares, ya que $\varphi(49)=42$.
\begin{align} 3+5^1-11^0 \equiv 7 \pmod{49} \\ 3+5^3-11^2 \equiv 7 \pmod{49} \\ 3+5^{15}-11^{20} \equiv 35 \pmod{49} \\ 3+5^{25}-11^{12} \equiv 35 \pmod{49} \\ 3+5^{33}-11^{38} \equiv 21 \pmod{49} \end{align}
Dado que ninguno de los anteriores pares de dar $0 \pmod{49}$, se obtiene una contradicción.
Por lo tanto,$z=1$, y ahora tenemos la ecuación de $3+5^y=7+11^w$, o después de la simplificación, $$5^y=4+11^w$$
Recordar que tenemos $(y, w) \equiv (1, 0), (3, 2) \pmod{4}$$(y, w) \equiv (1, 0), (3, 2) \pmod{6}$.
Si $y=1$, de inmediato nos han$11^w=1$$w=0$. Esto le da a la solución de $(x, y, z, w)=(1, 1, 1, 0)$.
De lo contrario,$y \geq 2$. Tomando $\pmod{25}$, $11^w \equiv 21 \pmod{25}$, por lo $w \equiv 2 \pmod{5}$. Esto implica que $w \geq 2$.
Tomando $\pmod{11}$,$5^y \equiv 4 \pmod{11}$, lo $y \equiv 3 \pmod{5}$. Por lo tanto,$y \geq 3$.
Si $(y, w) \equiv (1, 0) \pmod{6}$,$(y, w) \equiv (13, 12) \pmod{30}$. Luego de tomar $\pmod{31}$, $5 \equiv 5^{13} \equiv 5^y \equiv 4+11^w \equiv 4+11^{12} \equiv 20 \pmod{31}$, una contradicción. Por lo tanto,$(y, w) \equiv (3, 2) \pmod{6}$, lo $(y, w) \equiv (3, 2) \pmod{30}$.
Si $(y, w) \equiv (1, 0) \pmod{4}$,$(y, w) \equiv (33, 32) \pmod{60}$. Luego de tomar $\pmod{61}$, obtenemos $3 \equiv 5^{33} \equiv 5^y \equiv 4+11^w \equiv 4+11^{32} \equiv 5 \pmod{61}$, una contradicción. Por lo tanto,$(y, w) \equiv (3, 2) \pmod{4}$, lo $(y, w) \equiv (3, 2) \pmod{60}$.
Ahora tomando la $\pmod{125}$, obtenemos $11^w \equiv 121 \pmod{125}$, lo $w \equiv 2 \pmod{25}$, lo $w \equiv 2 \pmod{300}$. Tomando $\pmod{101}$, obtenemos $5^y \equiv 4+11^w \equiv 4+11^2 \equiv 125 \pmod{101}$, lo $y \equiv 3 \pmod{25}$, lo $y \equiv 3 \pmod{300}$.
Aquí viene la última parte. Si $y=3$, entonces claramente $11^w=121$ implica $w=2$, lo que nos da la solución de $(x, y, z, w)=(1, 3, 1, 2)$.
De lo contrario,$y \geq 4$. Tomando $\pmod{625}$, obtenemos $11^w \equiv 621 \pmod{625}$. Esto implica que $w \equiv 52 \pmod{125}$, lo $w \equiv 52 \pmod{250}$.
Finalmente tomamos $\pmod{251}$, y vamos a obtener una contradicción. Tenemos $5^y \equiv 4+11^w \equiv 4+11^{52} \equiv 148 \pmod{251}$. Tenga en cuenta que $5^{25} \equiv 1 \pmod{251}$, lo $5^y \equiv 5^3 \equiv 125 \not \equiv 148 \pmod{251}$, una contradicción.
Por lo tanto, todas las soluciones de la ecuación $$3^x+5^y=7^z+11^w$$ are given by $(x, y, z, w)=(0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 3, 1, 2)$.
Esto es sólo una respuesta parcial/análisis porque siento que no es apropiado como un comentario.
Edición: Ivan Loh excelente respuesta da una resolución completa.
Deje que nosotros empleamos módulo aritmético para reducir algunos casos:
Modulo $3$: Esto supone $x\ne 0$: $0^x+(-1)^y \equiv 1^z +(-1)^w \pmod 3$, por lo tanto $y$ impar, $w$ incluso.
Modulo $4$: $(-1)^x + 1 \equiv (-1)^z + 1 \pmod 4$ (desde $w$ incluso), por lo tanto $x,z$ tienen igualdad de paridad.
Modulo $5$: Esto supone $y \ne 0$: $3^x \equiv 2^z +1 \pmod 5$. Podemos enumerar todas las soluciones dejando $x$ de ejecución. Para $x=0$ no hay solución; $x=1, z=1$; $x=2,z=3$; $x=3,z=4$. Debido a $\Bbb Z_5^\times$ orden $4$, llegamos a la conclusión de que $x=z=1 \pmod 4$.
Modulo $7$: Esto supone $z \ne 0$: Una búsqueda exhaustiva revela que el modulo $6$, tenemos las siguientes seis opciones de $(x,y,w)$:
$$(1,1,0) \quad (1,3,2) \quad (3,1,4) \quad (3,5,2) \quad (5,3,4)\quad (5,5,0)$$
En particular, se ha $z \ne 0$ implica $y \ne 0$, lo que implica $x \ne 0$, que por el módulo 4 caso es equivalente a $z \ne 0$. Por lo tanto si $x = 0$, también se $y=z=0$ y echamos de menos sólo la solución trivial $(x,y,z,w)=(0,0,0,0)$ asumiendo $x,y,z$ distinto de cero.
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