¿Las mejores aproximaciones inferiores de un irracional cuadrático forman siempre una secuencia de recurrencia lineal?

Question

Dejemos que $\theta$ sea un número irracional y que

$$ {\cal L}= \bigg\lbrace (a,b) \in {\mathbb Z} \times {\mathbb N}^{*} \bigg| \frac{a}{b} \leq \theta \bigg\rbrace $$

y

$$ {\cal B}= \bigg\lbrace (a,b) \in {\cal L} \bigg| \forall (a',b') \in {\cal L}, \ b'\leq b \Rightarrow \frac{a'}{b'} \leq \frac{a}{b} \bigg\rbrace $$

para que $\cal B$ corresponde a las mejores aproximaciones inferiores de $\theta$ . Los elementos de $\cal B$ se pueden ordenar en una secuencia creciente con denominadores crecientes, $\frac{a_1}{b_1}<\frac{a_2}{b_2}<\frac{a_3}{b_3} < \ldots $ con $b_1<b_2<b_3< \ldots $ .

Por ejemplo, cuando $\theta=\sqrt{5}$ la secuencia es $\frac{2}{1}<\frac{11}{5}<\frac{20}{9}< \ldots $ . Las secuencias $(a_n)$ y $(b_n)$ son secuencias lineales recurrentes de grado $8$ , con el polinomio característico $X^8-18X^4+1=(X^4-4X^2-1)(X^4+4X^2-1)$ .

Obsérvese que, en contra de lo que podría suponerse, este grado 8 no tiene nada que ver con el período de la fracción continua estándar para $\theta$ que es igual a $1$ (tenemos $\sqrt{5}=2+\frac{1}{\phi}$ con $\phi=4+\frac{1}{\phi}$ ) .

Mi pregunta es si las secuencias $(a_n)$ y $(b_n)$ siempre son lineales y recurrentes si $\theta$ ¿es un cuadrático irracional?

Answer 1

Por fin he encontrado una respuesta completa a mi pregunta. Mi secuencia no es lo mismo que los convergentes de la fracción continua estándar de $\theta$ En efecto, muchos términos de mi secuencia no son convergentes y muchos convergentes no están en mi secuencia. Sin embargo, las dos secuencias comparten propiedades casi idénticas, como vamos a ver.

Para cualquier $m\geq 1$ , enote by $l_m$ ( $u_m$ respectivamente) la mayor (menor) fracción con denominador $\leq m$ que es menor (mayor) que $\theta$ . Así, el conjunto $\lbrace l_m | m \geq 1\rbrace$ es lo mismo que el conjunto $\lbrace \frac{a_n}{b_n} | n \geq 1\rbrace$ y para cada $n$ tenemos $\frac{a_n}{b_n}=l_{b_n}$ . Al otro lado de $\theta$ , $u_{b_n}$ puede escribirse como una fracción reducida $\frac{c_n}{d_n}$ . Es bien sabido que $b_nc_n-a_nd_n=1$ . Para encontrar el siguiente término $\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}$ utilizamos medianeras : dejemos $v_0=\frac{c_n}{d_n}$ y para $k \geq 1$ dejar $v_{k}$ ser el mediador de $v_{k-1}$ y $\frac{a_n}{b_n}$ . Entonces uno tiene $v_k=\frac{c_n+ka_n}{d_n+kb_n}$ para todos $k$ y hay un único $k_n$ tal que $v_{k_n} > \theta > v_{k_n+1}$ . Entonces el siguiente par de valores cercanos alrededor de $\theta$ , $(\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}},\frac{c_{n+1}}{d_{n+1}})$ es exactamente $(v_{k_{n+1}},v_{k_n})$ . Deducimos las fórmulas de recurrencia

$$ a_{n+1}=c_n+(k_{n}+1)a_n \\ b_{n+1}=d_n+(k_{n}+1)b_n \\ c_{n+1}=c_n+k_{n}a_n \\ d_{n+1}=d_n+k_{n}b_n \\ $$

que puede reescribirse de forma más elegante como una igualdad matricial: si ponemos

$$ K_n= \left( \begin{matrix} k_n+1 & 1 \\ k_n & 1 \end{matrix} \right), M_n= \left( \begin{matrix} a_{n} & b_{n} \\ c_{n} & d_{n} \end{matrix} \right) $$ entonces tenemos $M_{n+1}=K_nM_n$ para todos $n\geq 1$ . También, $k_n$ puede escribirse como $\lfloor \rho_n \rfloor$ , donde $\rho_n=\frac{c_n-d_n\theta}{b_n\theta-a_n}$ . Si ponemos

$$ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \star x=\frac{cx-d}{bx-a}, $$ entonces esto define una acción de grupo de $GL_2({\mathbb Q})$ en $\mathbb Q$ : $A \star (B \star x)=(AB) \star x$ para cualquier matriz $A,B$ y cualquier $x\in {\mathbb Q}$ . Deducimos $$ \rho_{n+1}=M_{n+1}\star\theta=K_nM_n \star \theta=K_n \star \rho_n $$ En otras palabras, la secuencia $(\rho_n)$ satisface la relación de recurrencia

$$ \rho_{n+1}=f(\rho_n), \ {\rm with} \ f(x)=\frac{x-\lfloor x \rfloor}{\lceil x\rceil-x} $$

Si $\theta$ es un irracional cuadrático, se puede escribir en la conocida forma "Legendre" $\frac{p+\sqrt{D}}{q}$ donde $p,q,D$ son números enteros con $D$ un no cuadrado, y $q$ divide $D-p^2$ . Entonces, por inducción, cada $\rho_n$ es de nuevo de la forma $\frac{p_n+\sqrt{D}}{q_n}$ donde $p_n$ y $q_n$ son números enteros y $q_n$ divide $D-p_n^2$ . Así que $r_n=\frac{D-p_n^2}{q_n}$ es un número entero, y tenemos $|q_nr_n| \leq |D|$ , $|q_n| \leq D, |r_n| \leq |D|, |p_n^2| \leq |D|+|q_nr_n| \leq |D|+|D|^2$ . Por tanto, sólo hay un número finito de valores posibles para el par $(p,q)$ , por lo que la secuencia $(\rho_n)$ toma sus valores en un conjunto finito. Como también satisface $\rho_{n+1}=f(\rho_n)$ , finalmente es periódica. Entonces $(k_n)$ también es eventualmente periódica, y se deduce fácilmente que el vector $(a_n,b_n,c_n,d_n)$ satisface una relación de recurrencia lineal (para más detalles, véase el artículo enlazado por Aryabhata en los comentarios).