Para un polinomio $P$ que $P(x+5) - P(x) = 2 ,\forall x$. ¿Cuál es el mínimo valor posible de $P(4) - P(2)$?

Question

Hay infinito número de polinomios $P$ que $P(x+5) - P(x) = 2,\forall x \in \mathbb{R}$.

¿Cómo podemos determinar el mínimo valor posible de $P(4) - P(2)$?

Answer 1

La condición de $P(x+5)-P(x)=2$ todos los $x$ puede ser reescrita como "$(x,y)$ está en el gráfico de $y=P(x)$ si y sólo si $(x+5,y+2)$." Esto implica que si $(x,y)$ está en el gráfico de $y=P(x)$, por lo que se $(x+5k,y+2k)$ todos los $k\in\mathbb{Z}$. Todos los puntos se encuentran sobre una línea de la forma $y=\frac{2}{5}x+b$ algunos $b\in\mathbb{R}$, por lo que la línea corta a la gráfica de $y=P(x)$ infinidad de veces, o, equivalentemente, $P(x)=\frac{2}{5}x+b$ tiene una infinidad de soluciones.

La única manera para que esto suceda con un polinomio $P$ si $P(x)=\frac{2}{5}x+b$ todos los $x\in\mathbb{R}$ (dos polinomios sólo puede ser igual a un número finito de puntos-si dos polinomios son iguales a un número infinito de puntos, que debe ser idénticamente iguales). Por lo tanto, $$P(4)-P(2)=\left(\frac{2}{5}\cdot 4+b\right)-\left(\frac{2}{5}\cdot 2+b\right)=\frac{4}{5}.$$

Answer 2

Si usted sabe de Cálculo:

Para cada una de las $x$ existe alguna $c_x \in (x,x+5)$, de modo que

$$\frac{P(x+5)-P(x)}{5}=P'(c_x) \,.$$

Por lo tanto $P'(c_x)=\frac{2}{5}$.

Por lo tanto,el polinomio $P'(x)$ toma el valor de $\frac{2}{5}$ infinitamente muchas veces (al menos una vez en cualquier intervalo de longitud de 5), y por lo tanto

$$P'(x)=\frac{2}{5} \,.$$

Así

$$P(x)=\frac{2}{5}x+b \,,$$

para algunos $b$.

Answer 3

Observe que $P(5)=2+P(0)$, $P(10)=4+P(0)$ y, más en general, $$(\star)\qquad\qquad P(5k)=2k+P(0)$$ for all $k\in\mathbb N$.

Ahora, un poco de cálculo muestra que

el grado $d$ de un polinomio $f$ es el único elemento de $\mathbb N_0$ tal que $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(5k)}{(5k)^d}$ es un valor distinto de cero (finito!) número real, y además el valor del límite es el coeficiente de $x^d$$f$.

El uso de $(\star)$ podemos ver fácilmente que el $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{P(5k)}{5k}=\frac{2}{5}$: de ahí que $P$ es un polinomio de grado $1$ de la forma $P(x)=\frac{2}{5}x+b$ algunos $b\in\mathbb R$.

Pero luego podemos completamente calcular $P(4)-P(2)$ para encontrar su valor de $\frac{4}{5}$.

Answer 4

Deje $\mathrm{P}_n(\mathbb{R})$ ser el espacio vectorial de los polinomios de $f$ con coeficientes reales y $\deg f\le n$, es decir, de la forma

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\quad a_i\in\mathbb{R}.$$

Ahora el delta del operador $\Delta_h:f(x)\mapsto f(x+h)-f(x)$ $h\ne0$ es una proyección de $\mathrm{P}_n(\mathbb{R})$ hasta el subespacio $\mathrm{P}_{n-1}(\mathbb{R})$, $n\ge1$: los principales términos en $f(x+h)$ $f(x)$ cancelar a la otra. Así $$\Delta_h f\in \mathrm{P}_n(\mathbb{R})\iff f\in \mathrm{P}_{n+1}(\mathbb{R}).$$

En particular, esto nos dice que si $\Delta_5 f=2$ es un polinomio constante, $f$ es lineal $f(x)=ax+b$. A partir de esto es fácil ver que $\Delta_5 f\,(0)= a\cdot5=2$ implica $a=2/5$, de donde $f(4)-f(2)$$\frac{2}{5}(4-2)=\frac{4}{5}$.

Answer 5

Sugerencia: para un polinomio $f(x)$ sobre un campo $K$ de los característicos $ =0,\:$ $\:0\ne k\in K$

$$ \deg f \le 1\: \iff\: f(x+k) - f(x) \in K\: \iff\: \dfrac{f(x+k) - f(x)}k\: =\: f'(0)\:=\:\dfrac{f(4)-f(2)}2 $$