Declaraciones condicionales: "sólo si"

Question

Por alguna razón, ya sea un mal hábito o algo más, no puedo entender que el enunciado "p sólo si q" se traduzca en p implica q. Por ejemplo, tengo el enunciado "Samir asistirá a la fiesta sólo si Kanti estará allí". La forma en que interpreto esto es: "Es cierto que Samir asistirá a la fiesta sólo si es cierto que Kanti estará en la fiesta"; lo cual, en mi mente, se convierte en "Si Kanti estará en la fiesta, entonces Samir estará allí".

¿Puede alguien convencerme del camino correcto?

EDITAR:

Los he leído con atención, y probablemente lo he hecho durante más de un año. Entiendo lo que son las condiciones suficientes y las condiciones necesarias. Entiendo la relación condicional en casi todas sus formas, excepto la forma "q sólo si p". Lo que no entiendo es por qué p es la condición necesaria y q la condición suficiente. Yo soy no preguntando, cuáles son las condiciones suficientes y necesarias, más bien, estoy preguntando por qué.

Answer 1

Piensa en ello: " $p$ sólo si $q$ " significa que $q$ es un condición necesaria para $p$ . Esto significa que $p$ puede ocurrir sólo cuando $q$ se ha producido. Esto significa que siempre que tengamos $p$ También debe ser que tenemos $q$ comme $p$ sólo puede ocurrir si tenemos $q$ es decir, que $p$ no puede suceder si no tienen $q$ .

La línea crítica es siempre que tengamos $p$ también debemos tener $q$ Esto nos permite decir que $p \Rightarrow q$ o $p$ implica $q$ .

Para usar esto en tu ejemplo: tenemos la afirmación "Samir asistirá a la fiesta sólo si Kanti asiste a la fiesta". Así que si Samir asiste a la fiesta, entonces Kanti debe estar en la fiesta, porque Samir asistirá a la fiesta sólo si Kanti asiste a la fiesta.

EDIT: Es un error común leer sólo si como una forma más fuerte de si . Es importante destacar que $q$ si $p$ significa que $p$ es un condición suficiente para $q$ y que $q$ sólo si $p$ significa que $p$ es un condición necesaria para $q$ .

Además, podemos aportar más intuiciones sobre este hecho: Consideremos $q$ sólo si $p$ . Esto significa que $q$ sólo puede ocurrir cuando $p$ ha ocurrido: así que si no tenemos $p$ no podemos tener $q$ porque $p$ es necesario para $q$ . Observamos que si no tenemos $p$ Entonces no podemos tener $q$ es una afirmación lógica en sí misma: $\lnot p \Rightarrow \lnot q$ . Sabemos que todos los enunciados lógicos de esta forma son equivalentes a sus contraposiciones. Tomemos el contrapositivo de $\lnot p \Rightarrow \lnot q$ Es decir, es $\lnot \lnot q \Rightarrow \lnot \lnot p$ lo que equivale a $q \Rightarrow p$ .

Answer 2

No creo que haya realmente nada que comprender aquí. Simplemente hay que aprender como un hecho que en la jerga matemática las palabras "sólo si" codifican invariablemente ese significado particular. En realidad, no está forzado por los significados cotidianos de "sólo" y "si" de forma aislada; simplemente es así.

Con esto quiero decir que el significado matemático es ciertamente un posible significado de la frase inglesa "only if", el significado matemático no es el sólo manera posible "only if" se puede utilizar en el inglés cotidiano, y sólo hay que memorizar como un hecho que el significado en matemáticas es menos flexible que en la conversación ordinaria.

Para ver que el significado matemático es al menos posible para el lenguaje ordinario, considere la frase

John sólo fuma los sábados.

De esto podemos concluir que si vemos a Juan pulsando un cigarrillo, entonces hoy debe ser sábado. Nos no puede Por sentido común, concluir que si miramos el calendario y dice que hoy es sábado, entonces Juan debe actualmente estar encendiendo porque la reclamación no dice que John fume continuamente durante todo el sábado, o incluso todos los sábados.

Ahora bien, si estamos de acuerdo en que no hay ninguna diferencia esencial entre "si" y "cuando" en este contexto, esto también podría formularse como

John está fumando ahora sólo si hoy es sábado.

que (según el análisis anterior) debería significar, matemáticamente, $$ \mathit{smokes}(\mathit{John}) \implies \mathit{today}=\mathit{Saturday} $$

Answer 3

"P sólo si Q" significa, como dice, que P ocurrirá SOLO si ocurre Q. Es decir, P no puede ocurrir sin que también ocurra Q lo que significa que si P está ocurriendo, entonces Q debe estar ocurriendo -- si P, entonces Q o $P \rightarrow Q$ no $Q \rightarrow P$ .

Answer 4

Yo lo veo así:

"Si Kanti no estará en la fiesta, entonces tampoco Samir", que se traduce en $\neg q \to \neg p$ que es lógicamente equivalente a $p \to q$ .

Answer 5

Creo que no es fácil encontrar una buena "explicación".

Las conectivas proposicionales son un modelo matemático (muy simple) del lenguaje natural, adecuado para modelar argumentos muy simples.

Su definición es a través de la tabla de verdad; después de haberlas definido, se comprobará cómo están "proxenando" el mecanismo del lenguaje natural.

Alguien mejor (negación y conjunción), alguien con cierta arbitrariedad (disyunción, inclusive : vel en lugar de aut ); alguien con una aproximación "grande" : "implica".

He encontrado útil la discusión en Stephen Cole Kleene , Lógica matemática (1967), pag.9 y pag.58-on.

Como Kleene dice, se suscitaron muchas controversias en torno a la definición de verdad-función de "implica".

Para mí, las locuciones tradicionales : "condición necesaria... " y "condición suficiente" son un poco engañosas, porque están sugiriendo una especie de vínculo "causal" entre ambas afirmaciones.

El modelo matemático de "si $A$ entonces $B$ " representado por tablas de verdad no requiere ningún tipo de "enlace" entre ellas.

Asumiendo ahora mi personal lectura "cuasi-convencionalista" de las conectivas de verdad-función, intentaré una especie de "ingeniería inversa" para responder a tu pregunta.

1) A partir de $A \equiv B$ y acordando su traducción "natural" como " $A$ si y sólo si $B$ ", tenemos que :

$A \equiv B$ es $A \rightarrow B$ y $B \rightarrow A$ .

Esto es traducible en: "si $A$ entonces $B$ " y "si $B$ entonces $A$ ".

Pero desempacando "si y sólo si" tenemos que " $A$ si $B$ " y " $A$ sólo si $B$ ".

En este punto, la "sabiduría de los antiguos" (ver Kleene , pag.63) dice que :

"si $A$ entonces $B$ " es " $A$ sólo si $B$ " y que "si $B$ entonces $A$ " es " $A$ si $B$ ".

El segundo par me parece más natural : en " $A$ , si $B$ ", el "si" se adjunta a $B$ por lo que se convierte en: "si $B$ entonces $A$ ".

Entonces... todas las apuestas están hechas ¡!

2) Y ahora, ¿qué pasa con "suficiente" y "necesario"?

Pongámonos de acuerdo para evitar la discusión (iniciada en los tiempos modernos al menos desde C.I.Lewis , Un estudio de la lógica simbólica (1918)) que la lectura de verdad-fuccional de "implica" no es correcta, y es necesario involucrar conceptos modales para explicarlo correctamente.

Creo que hay que tener en cuenta el "isomorfismo" entre la conectiva funcional de verdad "si ... entonces" y la regla de inferencia de

modus ponens que nos permite inferir de la locales $A$ y $A \rightarrow B$ El conclusión $B$ .

Debemos leerlo como Gottlob Frege hizo en su Terminología (1879) :

asumiendo como verdadero tanto las premisas, la suposición de que $A \rightarrow B$ es verdadero , descarta la fila $T-F$ en la tabla de verdad para implica mientras que la suposición de que también $A$ es verdadero descartar otras dos filas ( $F-F$ y $F-T$ respectivamente). Entonces, la conclusión de que $B$ es verdadero tiene licencia.

Así que, asumiendo la definición de verdad-funcional de " $A$ implica $B$ ", tenemos que (la verdad de) $A$ es un condición suficiente para (el de) $B$ .