¿Cómo puedo demostrar que una función con un número finito de discontinuidades es integrable de Riemann en algún intervalo?

Question

En primer lugar, quiero averiguar por qué, para el caso simple en el que $ g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} $ está acotado y es continuo excepto en algún punto $ x_0\in[a,b], $ $ g$ es integrable de Riemann en [a,b].

Conozco la condición de integrabilidad de Riemann de que debe existir alguna partición $ P $ para lo cual $ U(P,f) - L(P,f)\leq\epsilon, \forall \epsilon>0 $ .

Para mi intento de prueba, dije:

Dejemos que $ P=\{x_0,x_1,\cdots,x_n:x_0=a<x_1<\cdots<x_n=b\} $ sea una partición de $ [a,b] $ . Dejemos que $ x_0\in[x_{k-1},x_k]. $ Entonces, normalmente para una función continua en todas partes, ya que $ [a,b] $ es un conjunto compacto, la función es uniformemente continua y por tanto $ \exists\delta(\epsilon):|x-y|<\delta\implies|f(x)-f(y)|<\epsilon,\forall\epsilon>0 $ . Usando esto, podemos hacer que cualquiera de los subintervalos de la partición sea arbitrariamente pequeño, y eventualmente hacer que la diferencia entre las sumas superior e inferior sea arbitrariamente pequeña usando la propiedad de que una función continua alcanzará su máximo y su mínimo. Pero, ¿cómo puedo hacer algo similar para $ g $ ? Además, ¿cómo puedo extender esto al caso en el que $ g $ es discontinuo en $ x_0, x_1, \cdots, x_n $ ?

EDIT: Usando el consejo de ncmathsadist,

Dejemos que $\epsilon > 0$ . Dejemos que $M = \sup_{x\in[a,b]} f$ .

Dejemos que $ D=\{x_0,x_1,\cdots,x_{2n}:x_0<x_1<\cdots<x_{2n}\} $ sea una subpartición que contenga todos los puntos $ x_0,x_1,\cdots,x_n $ donde $ g $ es discontinuo, tal que $ \sum_{i=1}^{2n}(x_i-x_{i-1}) < \frac{\epsilon}{2M}$

Dejemos que $ C $ sea una subpartición que contenga todos los demás puntos. Visitando la prueba de que una función continua es integrable en Riemann, puedo construir una $ C $ para que:

$ U(C\bigcup D,f)-L(C\bigcup D,f)< \frac{\epsilon}{2M}\times M+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $

Esto se debe a que $ g $ está acotada, y cualquier contribución de $ g $ a la suma desde el punto discontinuo debe ser menor que el máximo, $ M $ .

Answer 1

Dejemos que $\epsilon > 0$ . Poner $M = \sup_{x\in[a,b]} f$ . Ahora elige una partición para que la longitud total de los intervalos que contienen las discontnuidades de $f$ es menor que $\epsilon/2M$ . La contribución de los intervalos con discontinuidades de $f$ es menor que $\epsilon/2$ . Desde $f$ es continua en el resto, es bastante fácil elaborar un argumento que proporcione una partición cuyas sumas superior e inferior difieran en menos de $\epsilon/2$ .

Si se juntan las piezas, se obtiene la integrabilidad de Riemann.

Answer 2

$f$ está acotado $\Rightarrow \exists M \in R$ tal que $f<|M|$ . Para todos los $\varepsilon>0$ :

Es $D=\{d_0,...,d_k\}$ el conjunto de puntos discontinuos de $f$ y $P=\{x_0,...,x_n\}$ partición de $[a,b]$ que contiene $D$ tal que:

• la suma de los intervalos determinados por $P$ tal que uno de los puntos es de discontinuidad de $f$ es $\sum_{D}^{}(x_{i}-x_{j})<\frac{\varepsilon}{4M}$
• $K=\{k_0,...,k_j\}$ es el conjunto de otros puntos de $P$ tal que $\sum_{i=1}^j (M_i-m_i) (k_{i}-k_{i-1})<\frac{\varepsilon}{2}$ (en estos puntos $f$ es continua y podemos hacer esta elección).

Así que: $$ U(f, K \cup D)-L(f,K \cup D)=\sum_{i=1}^j (M_i-m_i) (k_{i}-k_{i-1})+\sum_{D}^{} (M_i-m_i) (x_{i}-x_{j}) $$ $$ <\sum_{i=1}^j (M_i-m_i) (k_{i}-k_{i-1})+2M \sum_{i=1}^j (y_{i}-y_{i-1})<\sum_{i=1}^j (M_i-m_i) (k_{i}-k_{i-1})+2M \frac{\varepsilon}{4M} $$

$$ =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) (k_{i}-k_{i-1})+\frac{\varepsilon}{2} <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon $$

De eso: $f$ es integrable de Darboux, y por tanto integrable de Riemann (e integrable de Cauchy)