Sean Q y P grupos finitos de p, H Aut(Q).
¿Es realmente cierto que hay a lo sumo un grupo p-soluble G tal que $Q \unlhd G$, $C_G(Q) \leq Q$, P es un Sylow p-subgrupo de G, y que el homomorfismo de G a Aut(Q) se sobreyecta en H?
Creo que esto es cierto (hasta un isomorfismo de G restringido a la identidad en Q), pero estoy preocupado por una consecuencia:$\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}\newcommand{\Fit}{\operatorname{Fit}}$
Sean F un grupo nilpotente finito, H un subgrupo de Aut(F), y para cada primo p que divide el orden de F, sea F<em>p</em> E<em>p</em> un Sylow p-subgrupo de F contenido en algún grupo finito de p.
Digamos que G es un modelo de $(H,E)$ si G es soluble, $F \unlhd G$, $C_G(F) \leq F$, el homomorfismo de G a $\Aut(F)$ es sobreyectivo en H, y cada E<em>p</em> es un Sylow p-subgrupo de G.
¿Es realmente cierto que dado F, H, y E hay a lo sumo un (hasta un isomorfismo restringido a la identidad en F) modelo de $(H,E)$?
En tal modelo, F es el mayor subgrupo normal nilpotente de G, y un teorema de Fitting garantiza que $G/Z(F) \cong H$, así que por supuesto $G/Z(F)$ está determinado de forma única por H. No tenía idea de que G en sí mismo podría ser recuperado de forma única si solo se conocen los subgrupos de Sylow (asumiendo que no estoy equivocado).
Si es falso, agradecería un ejemplo donde F = Q sea un grupo p.
Si es cierto, agradecería una referencia más antigua que la topología del siglo XXI, pues seguramente este es "el otro teorema de Fitting".
Un caso especial es claro: si F tiene cohomología de segundo orden nula como un módulo de H, entonces G debe ser el producto semidirecto. En particular, si los órdenes de F y H son coprimos, entonces por supuesto G está determinado de forma única.
Por otro lado, si la cohomología de segundo orden no se anula, entonces aunque pueden surgir múltiples extensiones, en los ejemplos que he visto, cada extensión está identificada de forma única por sus subgrupos de Sylow que intersecan de forma no trivial al subgrupo de Fitting.
No estoy seguro de entender cómo saber los Sylows, pero no saber cómo interactúan es suficiente para conocer el grupo. Una buena respuesta (si es verdadera) podría empezar con "pero Jack sabemos cómo interactúan, porque...".
