Relación entre la variación total y absoluta continuidad

Question

Feliz día de acción de gracias para todos vosotros.

He hecho un intento de una tarea problema, que voy a necesitar a alguien para mirar por encima de mí. La pregunta es la siguiente.

Si $f$ es de variación acotada en $[a,b]$ $f'(x)$ existe una.e. y$$\int_a^b |f'|~dx\leq T_a^b(f),$$ where $T(f)$ es la variación total.

Este es mi intento.

Desde $f$ es de variación acotada, podemos escribir $f(x)=g(x)-h(x)$ donde $g$ $h$ son monótonas crecientes funciones en $[a,b]$. Por lo tanto $f'(x)=g'(x)-h'(x)$.e. Además, $|f(x)|\leq |g'(x)|+|h'(x)|=g'(x)+h'(x)$. Por lo que $$ \begin{align*} \int_a^b|f'(x)|~dx & \leq \int_a^b g'(x) + \int_a^b h'(x)\\ & \leq g(b)-g(a)+h(b)-h(a)\\ & = T_a^b(f). \end{align*} $$ I'm also required to find additional conditions on $f$ necesaria para la igualdad de mantener.
Es suficiente decir que la igualdad se tiene si $f$ es absolutamente continua, o tengo que justificar?

Answer 1

La última desigualdad no es la correcta para un general$h$$g$. Trate de usar la variación positiva de la función y negativo de la variación de la función en su lugar. Aviso estas son funciones crecientes y así diferenciable de una.e... bla bla bla. En la final se concluye con $P(f,[a,b])+N(f,[a,b])=T(f,[a,b])$.

También una condición suficiente para que la igualdad es que el $f$ $C^{1}$