Eficiencia del motor Stirling y el teorema de Carnot

Question

Quiero calcular la eficiencia de este ciclo Stirling para un gas ideal $pV = nRT$

El trabajo mecánico es

$$ \Delta W_{12} = - \int_{V_1}^{V_2} p(V) \mathrm{d}V = -nRT_2 \ln \frac{V_2}{V_1}\\ \Delta W_{23} = \Delta W_{41} = 0\\ \Delta W_{34} = -nRT_1 \ln \frac{V_1}{V_2} $$ En las curvas isotermas el cambio en la energía interna $\Delta U = \Delta W + \Delta Q$ es cero. $$\Delta Q_{12} = - \Delta W_{12} > 0\\ \Delta Q_{34} = - \Delta W_{34} < 0 $$ En las curvas isocóricas (isovolumétricas) las cantidades de calor son $$ \Delta Q_{23} = C_V (T_1 - T_2) < 0\\ \Delta Q_{41} = C_V (T_2 - T_1) > 0 $$ La eficiencia es entonces $$ \eta = \frac{-\Delta W}{\Delta Q} $$ $ \Delta Q$ es el calor de entrada, es decir, la suma de todas las cantidades de calor $> 0$: $$ \Delta Q = Q_{12}+Q_{41} = n R T_2 \ln \frac{V_2}{V_1} + C_V (T_2 + T_1) $$ $ \Delta W$ es el trabajo mecánico total: $$ \Delta W = W_{12}+\Delta W_{34} = - nR(T_2 - T_1) \ln \frac{V_2}{V_1} $

Así que finalmente la eficiencia es $$ \eta = \frac{T_2 - T_1}{T_2 + \frac{C_V (T_2 - T_1)}{nR \ln V_2 / V_1}} < \eta_\text{C}. $$ Es menor que la eficiencia del ciclo de Carnot. Pero debería ser igual si todos los procesos se hacen de manera reversible.

Los cálculos están tomados de un libro de texto (Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 4) que en realidad señala este problema como una pregunta al lector. Mi única explicación es que este proceso no es reversible, pero no sé cómo decirlo sin ver cómo se realizan los procesos isotermos e isocóricos.

Entonces mis preguntas son:

• ¿Es esto una contradicción al teorema de Carnot de que la eficiencia $\eta_\text{C} = 1 - T_1/T_2$ es la misma para todos los motores de calor reversibles entre dos baños de calor?
• ¿Este ciclo es reversible?
• Hay alguna forma de decir si un proceso es reversible o irreversible solo con una figura como la que está arriba?

Answer 1

Respuesta modificada. 2017-07-01

No hay contradicción porque tu análisis solo incluye lo que le sucede a la sustancia de trabajo gaseosa en el motor Stirling, y descuida un componente crucial del motor llamado regenerador. Si el regenerador no se incluye como un componente del motor cuando realizamos el análisis de eficiencia, entonces no tenemos un dispositivo que califique como un motor de calor operando entre dos temperaturas, y por lo tanto no deberíamos esperar que se ajuste al Teorema de Carnot como lo declaré en la versión original de esta respuesta.

Sin embargo, si tomamos en cuenta correctamente el regenerador, entonces encontramos que la eficiencia del motor es la eficiencia de Carnot.

Por supuesto, todo el análisis aquí es idealizado en el cual asumimos, por ejemplo, que no hay pérdidas de energía debido a la fricción en los componentes del motor.

Detalles.

Un motor stirling es más complejo de lo que el diagrama $P$-$V$ dibujado en la declaración de la pregunta parece indicar. Si reducimos conceptualmente el motor a su forma más simple, contiene dos componentes fundamentales:

1. Una sustancia de trabajo gaseosa . Este es la parte del motor cuyo estado termodinámico viaja a lo largo de la curva en el diagrama $P$-$V$. 3. Un regenerador. Esta parte del motor absorbe y almacena la energía cedida por la sustancia de trabajo gaseosa mediante transferencia de calor durante el proceso $2\to 3$ y luego devuelve esa misma energía a la sustancia de trabajo gaseosa durante el proceso $4\to 1$.

El punto crucial es que cuando se incluye el regenerador, no hay transferencia neta de calor dentro o fuera del motor durante los procesos $2\to 3$ y $4\to 1$. La energía que abandona la sustancia de trabajo gaseosa durante el proceso $2\to 3$ por transferencia de calor se almacena en el regenerador, y ese calor se devuelve a la sustancia de trabajo durante el proceso $4\to 1$. No se transfiere calor entre el motor y su entorno durante estas etapas del ciclo.

Se sigue que el único calor transferido al motor en su totalidad se transfiere durante $1\to 2$. Esto califica al dispositivo como un motor de calor (ver respuesta antigua a continuación) y la eficiencia del motor se calcula entonces como la relación de la salida de trabajo neto dividido por la entrada de calor en el proceso $1\to 2$. Esto produce la eficiencia de Carnot como debería.

Mi respuesta original afirmaba que el ciclo dibujado no representa la operación de un motor de calor que opera entre dos temperaturas, pero estaba descuidando el regenerador, y creo que esto es lo que implícitamente hiciste en el cálculo que realizaste originalmente también, y esto produjo una eficiencia incorrecta.

Respuesta original, incompleta.

No hay contradicción. El ciclo Stirling que dibujaste arriba es reversible pero no opera entre dos depósitos a temperaturas fijas $T_1$ y $T_2$. Las partes isovolumétricas del ciclo operan a temperaturas cambiantes continuamente (piensa en la ley de los gases ideales).

Añadido Antiguo. Nota que en termodinámica, se dice que un motor de calor opera (o trabaja) entre (dos depósitos a) temperaturas $T_1$ y $T_2$ siempre y cuando todo el calor que absorbe o cede se haga a una de esas dos temperaturas.

Para darle credibilidad a esta definición (que es esencialmente implícita en la mayoría de las discusiones de motores de calor que he visto), aquí hay una cita del texto de termodinámica de Fermi:

En la sección anterior describimos un motor cíclico reversible, el motor de Carnot, que realiza una cantidad de trabajo $L$ durante cada uno de sus ciclos al absorber una cantidad de calor $Q_2$ de una fuente a la temperatura $t_2$ y cediendo una cantidad de calor $Q_1$ a una fuente a la temperatura más baja $t_1$. Diremos que dicho motor trabaja entre las temperaturas $t_1$ y $t_2.

Answer 2

El ciclo Stirling tal como lo describes no es reversible. La transferencia de calor de los depósitos térmicos a lo largo de los caminos 4->1 y 2->3 no es un proceso reversible, porque se está transfiriendo calor entre dos objetos a diferentes temperaturas. Para revertir el proceso, necesitarías transferir calor espontáneamente de un depósito más frío a uno más caliente, lo cual viola la segunda ley de la termodinámica.

A menudo, los motores Stirling se describen como reversibles, pero esto requiere un tipo especial de proceso. Observa que el calor transferido al motor a lo largo de 4->1 es igual al calor transferido fuera del motor a lo largo de 2->3 y que 4->1 y 2->3 operan entre las mismas dos temperaturas. Por lo tanto, se puede construir un motor Stirling Carnot eficiente si el calor se transfiere isotérmicamente dentro del motor a lo largo de estos caminos. Esto se logra con un "regenerador", una masa térmica que almacena la energía liberada en 2->3 y la devuelve al gas a lo largo del camino 4->1. Puedes ver que el regenerador tiene que variar continuamente en temperatura entre T2 y T1 e intercambiar calor isotérmicamente con el gas a medida que pasa.

Hay que tener en cuenta que todos los motores reversibles deben operar con la misma eficiencia. Esto se sigue de las definiciones de eficiencia y entropía. Un motor reversible opera con un cambio de entropía de 0. $\Delta S = -\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c}$, entonces $\Delta S = 0$ implica $ \frac{Q_h}{T_h} = \frac{Q_c}{T_c}$ o eficiencia = $\frac{Q_h - Q_c}{Q_h} = \frac{T_h - T_c}{T_h}$

Answer 3

En un ciclo Stirling ideal, los pasos isocóricos tienen intercambio de calor a través de una diferencia de temperatura infinitesimal, que es mantenida por el regenerador teniendo un gradiente continuo de temperatura entre los reservorios caliente y frío. El gas puede enfriarse o calentarse en alineación con ese gradiente. Esta es la parte muy ideal del diseño que permite un cambio cero en la entropía durante las dos etapas isocóricas. Este calor se mueve de un lado a otro internamente y la única transferencia real con el exterior es a través del reservorio caliente y hacia afuera a través del frío. De ahí la eficiencia ideal. No estoy seguro de que sea correcto llamar isotermales a lo que sucede en las etapas del regenerador. La temperatura está cambiando continuamente pero idealmente siempre a través de una diferencia infinitesimal. ¿Hay un término comúnmente utilizado para eso? Sin embargo, las etapas isocóricas son muy diferentes de las etapas isotérmicas.

He notado en mis búsquedas en internet sobre el tema de motores Stirling que muchas fuentes confunden estas ideas. A menudo he visto análisis de eficiencia que ignoran por completo el efecto del regenerador. Esto posiblemente se deba al hecho de que los procesos isocóricos no suelen estar asociados con un cambio cero en la entropía, pero en el caso del motor Stirling hay un tipo muy especial de este proceso involucrado, utilizando un regenerador.

El motor Stirling ideal tiene la misma eficiencia que el ciclo de Carnot, pero su ventaja es que permite la construcción de motores reales que, aunque quizás no puedan lograr etapas isotermales perfectas y regeneradores isocóricos totalmente suaves, sí se acercan y son mucho más factibles que la posibilidad de construir un motor Carnot práctico.

Entonces, en realidad, los motores Stirling fabricados no logran la eficiencia total ideal de Carnot, pero muchos lo hacen mucho mejor que otros tipos de motor de calor.

En conclusión, considerando el motor Stirling ideal:

(1) Se alcanza la máxima eficiencia ideal del motor Carnot. (2) Tu cálculo no contradice esto porque está equivocado. Incluyes el calor intercambiado en las etapas isocóricas como parte del costo, cuando el único costo es la entrada de calor externa durante la carrera de potencia isotérmica. (3) Este ciclo es reversible ya que no hay cambio en la entropía durante las etapas isocóricas. (4) El diagrama por sí solo no es suficiente para mostrar esto ya que también necesitamos saber que el regenerador ideal es lo que permite el tercer punto. Es decir, si quitas el regenerador el diagrama sigue siendo el mismo.

Answer 4

El problema proviene de la novena ecuación. Tenga en cuenta que el calor que se transfiere durante los dos procesos 4-1 y 2-3 se cancelan entre sí. El calor Q41 se da al regenerador y luego se reabsorbe de él por el material de trabajo del sistema. Esta cantidad de calor "no" se da al sistema por el depósito caliente ni se absorbe por el depósito frío, sino que de alguna manera, se transfiere "reversiblemente" entre dos partes del material de trabajo en sí. Por lo tanto, incluir el calor Q41 en la 9ª ecuación como parte del calor que "se transfiere" del preservador caliente al sistema es un error en los cálculos anteriores que ha llevado al resultado incorrecto dado en la 11ª ecuación.

Answer 5

Cualquier ciclo en el diagrama pv es reversible. Cuando resuelves para Q, tienes que integrar y el proceso de integración en sí mismo involucra dT, lo que significa que la diferencia de temperaturas es infinitesimalmente pequeña, haciendo así el proceso reversible. La fórmula de eficiencia del motor Stirling que has derivado es correcta excepto que el número de moles (n) debería haberse cancelado. La eficiencia del motor Stirling es menor que la de Carnot y eso está bien. Como uno de ustedes mencionó, no se puede comparar con Carnot ya que el intercambio de calor en el ciclo de Carnot ocurre a dos temperaturas fijas, mientras que en el motor Stirling, el intercambio de calor también ocurre a lo largo de los dos procesos de volumen constante donde las temperaturas varían. En el ciclo de Carnot, no hay intercambio de calor a lo largo de las curvas adiabáticas a lo largo de las cuales cambia la temperatura. Espero que esto ayude.