Cómo construir una línea con un dado a la misma distancia de 3 Puntos en 3 Dimensiones?

Question

Importante: ahora estoy convencido de que los 4 puntos necesario con el fin de reducir las soluciones a un número finito. (La cual es necesaria porque tengo TODAS las soluciones)

En un equipo en el contexto de ciencia, necesito solucionar un problema geométrico que establece:

Dados tres puntos en las tres dimensiones del espacio, encontrar una línea de $L$ (en cualquier forma, por ejemplo, especificar dos puntos que se encuentran sobre la línea), de modo que la distancia entre cada uno de los puntos y $L$ son iguales a una determinada distancia $d$, si es posible.

Por la distancia entre un punto de $P$ y una línea de $L$, la distancia euclidiana entre el $P$ y el pie de la perpendicular en $L$ que pasa a través de $P$ es decir.

En dos dimensiones (dados dos puntos) este es bastante simple, ya que implica sólo un par de funciones trigonométricas, aunque me cuesta mucho con él en tres dimensiones. La razón seguramente es que no soy de una experiencia en las matemáticas y no sabemos demasiado acerca de álgebra lineal (que creo que está involucrado aquí).

Sería ideal si hay una solución para $N$ dimensiones (creo que el $N$ Puntos son necesarios entonces), aunque yo sería muy feliz si alguien podría dar al menos algunas pistas sobre las tres dimensiones del problema (tal vez algún tipo de heurística que no pensé que podría funcionar también). :)

EDIT: Aclaración

La distancia entre los puntos y la línea es una constante dada. Ejemplo: Dados tres Puntos y una distancia de $d=3$, quiero encontrar la línea que tiene una distancia de $d$ (en este caso $3$) para cada punto dado, si es posible (por supuesto, hay muchos casos en que dicha línea no existe). Y soy consciente de que el hecho de que esta línea no es única de (varios, o en el caso de la colinealidad de los tres puntos, infinitamente muchas líneas de existir)

EDIT: Aclaración II

Parece que mi redacción causa mucha confusión acerca de CUÁLES son las propiedades de la línea debe tener. Una imagen que muestra el caso bidimensional de la siguiente manera:

En este caso los Puntos de $P_1$$P_2$, y la tarea era encontrar la línea de $g$ de manera tal que cada Punto tiene la misma distancia más corta $r_B$ (preset) a $g$. (En este contexto, la línea especificada por un punto de $C$ y el ángulo de $\alpha$, aunque soy feliz con cualquier tipo de parametrización).

Ahora me han dado 3 tridimensional de puntos y quieren encontrar una línea con las propiedades descritas y no tengo idea de cómo hacer esto.

EDICIÓN III:

También me ha dicho que yo debería ser capaz de encontrar todas las soluciones de (estoy 99% convencido de que sólo hay un número finito de soluciones para el común de los casos)

Answer 1

Tal vez el siguiente será de ayuda. No es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Supongamos que la distancia dada es $d$. A continuación, $L$ debe ser al mismo tiempo tangente a las tres esferas de radio $d$, uno centrado en cada uno de los puntos dados.

Considere el caso en el que las distancias entre algún par de puntos es $D>2d$. El radio de $d$ esferas puede ser ubicado en el interior de una superficie reglada de esta forma (siempre y cuando sea del tamaño apropiado):

Cualquier línea de la superficie reglada es tangente a las dos esferas.

También puede colocar dos esferas con centros de distancia $D$ aparte en una superficie reglada que es más (o completamente) con forma cónica, o en uno de los que menos cono y más (o exactamente) cilíndrico. Cualquiera de estas superficies regladas se producirá un número infinito de líneas $L$ tangente a estas dos esferas.

Si la esfera de radio $d$ sobre el tercer punto se cruza con alguna de estas superficies regladas (hyperboloids de una hoja con eje con las dos primeras esferas' de los centros - el cono y el cilindro se degenerados), parece que va a ser una o dos líneas de $L$ de la superficie reglada donde $L$ equidistante de los tres puntos.

Creo que la tercera esfera se cruzan una de estas superficies regladas si y sólo si se cruza el cono o el cilindro, así que tal vez sólo los degenerados hyperboloids necesitan ser considerados.

Si ninguno de los puntos son más de $2d$ unidades de distancia, las dos primeras esferas se intersecan en un círculo. Las familias de las líneas tangentes a ambos se componen de un cilindro y algunos hyperboloids, pero no se puede torcer por completo en un cono. En su lugar, habrá una diferente degenerados dictaminó la familia de la tangente a las líneas: aquellos en el plano a través de las esferas' círculo de intersección que también son tangentes a ese círculo. De nuevo, si la tercera esfera se cruza con alguna de estas familias de líneas (y creo que en este caso se debe), se obtendrá soluciones.

Answer 2

Permítanme explicar brevemente el caso de $3$ dimensión:

Encontrar el plano que contiene los $3$ puntos. En este plano, hallar el circuncentro del triángulo formado por estos $3$ de los puntos, entonces la línea recta perpendicular a este plano y que pasa por el circuncentro es la línea requerida.

Answer 3

Como ya se ha señalado, los tres puntos no es suficiente en general. En la mayoría de los casos, usted necesitará cuatro puntos para restringir la línea por completo. El uso de Plücker coordenadas que hace que este punto obvio. Para una línea definida por coordenadas Plücker $$p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12}$$ la distancia $d$ entre un punto de $(x,y,z)$ y la línea satisface $$d^2=(p_{01}+zp_{31}-yp_{12})^2+(p_{02}+xp_{12}-zp_{23})^2+(p_{03}+yp_{23}-xp_{31})^2,$$ provided that $p_{23}^2+p_{31}^2+p_{12}^2=1$. El Plücker coordenadas obedecer $$p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}=0$$ and you can always normalize them so that $$p_{23}^2+p_{31}^2+p_{12}^2=1.$$ Los cuatro puntos y los dos ecuaciones anteriores el rendimiento de un sistema de seis ecuaciones para seis incógnitas. Puede ser fácilmente resuelto numéricamente por las coordenadas de los cuatro puntos. Buscando un general de la solución analítica podría ser demasiado onerosa.

Para ilustrar, por $d=1$ y puntos $$(0,0,0), (4,0,0), (6,2,0), (9,4,1)$$ Me sale el siguiente líneas $$(-0.236073,0.351294,0.906014,0.91316,0.399015,0.0832224),$$ $$(0.0561098,-0.577272,0.814622,0.867865,0.431585,0.24606).$$

Answer 4

Creo que esta línea puede no ser única.

Encontrar en 3D,el plano que contiene los 3 puntos. En este plano, los tres puntos forman un triángulo. Vamos a la línea recta paralela a un lado, decir $AB$ luego pasar al tercer punto de $C$ paralelo en el plano. A continuación, llegar a una línea de $l_1$ donde ABC tiene la misma distancia $d_0$ (durante el movimiento, A,B, siempre tienen la misma distancia a la línea) . A continuación, mueva la línea paralelamente a la dirección arriba/abajo perpendicular al plano (durante el movimiento, a,B,C, siempre tiene la misma distancia a la línea). Se detiene cuando usted tiene la distancia deseada.

Por supuesto, si la $d$ es demasiado pequeño, usted no puede obtener una solución. Y para un buen $d$, obtendrá varias soluciones dependiendo de qué lado se empieza.

Answer 5

Hay una línea para que cada punto tiene la misma distancia de los tres puntos, pero que la distancia dependerá de en qué punto de la línea que se fue.
No es cero, uno o dos puntos de la recta que están a una distancia de $d$ a partir de los tres puntos.
Dados los puntos de $(a,b,c),(e,f,g),(h,k,m)$, y un punto equidistante $(x,y,z)$, luego $$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=d^2\\(x-e)^2+(y-f)^2+(z-g)^2=d^2\\(x-h)^2+(y-k)^2+(z-m)^2=d^2$$ Restar la primera ecuación a partir de los otros dos $$2x(a-e)+2y(b-f)+2z(c-g)=a^2-e^2+b^2-f^2+c^2-g^2\\ 2x(a-h)+2y(b-k)+(2z(c-m)=a^2-h^2+b^2-k^2+c^2 m^2$$ Este es de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas. Espero que sepa cómo resolverlo; por lo general se da una línea.
Para obtener común de distancia $d$, alimentar a su respuesta en la primera ecuación, y se obtiene una ecuación cuadrática en $d$, la cual tiene cero, uno o dos soluciones.