Deje $G$ ser un grupo de tal forma que si $H$ es un subconjunto de a $G\setminus Z(G)$ y dos elemento de $H$ viaje, a continuación, $H$ es finito. Es cierto que el conjunto de todos los tamaños, de tal $H$ tiene un máximo de elemento? Gracias de antemano.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Permítanme tratar.
En primer lugar, el centro debe ser finito, de lo contrario el coset de cualquier no-elemento central $xZ(G)$ es un infinito abelian subconjunto en $G-Z(G)$.
Como cualquier subconjunto con pares de desplazamientos de los elementos genera un abelian subgrupo, y por el contrario los elementos de cualquier abelian subgrupo son pares los desplazamientos, en realidad estamos preguntando acerca de un grupo en el que cada abelian subgrupo es finito (esto es causado por la finitud del centro), sin límite en el orden de estos subgrupos.
Esa pregunta ya está pedido en MathOverflow ( ver http://mathoverflow.net/questions/80998/groups-with-no-bounds-on-the-size-of-abelian-subgroups-without-infinite-ones) , y un grupo que ya está construido en Olshanskii del libro "La Geometría de la definición de las relaciones en los grupos".
Reproduzco la respuesta aquí : existe una contables $2$generados simple grupo de $G$, que contiene una copia de cualquier grupo cíclico de orden impar, por otra parte cada apropiado subgrupo de $G$ es cíclico (de fin de dividir un número entero $n$) o un conjugado a uno de nuestros incrustado copias de los grupos cíclicos.
