Prueba de la desigualdad de Bernoulli

Question

La pregunta dice

$$U_n = (1+x)^n - 1 - nx$$ Demostrar que $U_2 \geq 0$ Por lo tanto, o de otra manera demostrar que $(1+x)^n \geq 1 + nx$ para todos $x \gt -1$ .

Evidentemente, el $U_2 \geq 0$ es muy fácil, puedo hacerlo sin problemas pero no veo cómo se relaciona con la 2ª parte de la pregunta.

Answer 1

Creo que la inducción en $n$ sería el truco aquí, lo que significa que tienes que mostrar que se mantiene para $n=2$ ; tenga en cuenta que $U_2\geq 0$ equivale a mostrar $(1+x)^2\geq 1+2x$ que es válida para todos los $x$ , sean o no mayores que $-1$ .

Ahora, supongamos que $U_n\geq 0$ es decir, que $(1+x)^n\geq 1+nx$ y que $x\gt -1$ . Queremos demostrar que $U_{n+1}\geq 0$ (es decir, que $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$ ).

Toma $(1+x)^n\geq 1+nx$ . Desde $x\gt -1$ entonces $1+x\gt 0$ multiplicando ambos lados por $1+x$ nos encontramos con que: $$\begin{align*} (1+x)^n &\geq 1+nx\\ (1+x)^n(1+x)&\geq (1+nx)(1+x)\\ (1+x)^{n+1}&\geq 1 + nx + x + nx^2\\ (1+x)^{n+1}&\geq 1+ (n+1)x + nx^2 \geq 1+(n+1)x \end{align*}$$ con la última desigualdad ya que $x^2\geq 0$ Así que $nx^2\geq 0$ . Esto demuestra que si $(1+x)^n\geq 1+nx$ y $x\gt -1$ , entonces $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$ . Desde $(1+x)^2\geq 1+2x$ entonces el resultado es válido para todo $n$ por inducción.

(Esto también se puede hacer mediante el cálculo, observando que $f(x)=(1+x)^n$ se encuentra por encima de su tangente en $x=0$ en el intervalo $(-1,\infty)$ la tangente en $0$ es precisamente $y=1+nx$ .)

Answer 2

En lugar de demostrar esto, demostraré una modesta generalización. Sea $x_1,x_2, \ldots x_n$ sean números mayores que $-1$ entonces $(1+x_1)(1+x_2)\ldots(1+x_n)\geq 1+x_1+x_2+\ldots x_n$

El paso inductivo es:

$(1+x_1)(1+x_2)\ldots(1+x_{n+1})\geq(1+x_1+x_2+\ldots+x_n)(1+x_{n+1})$ $=\sum_1^{n+1}x_i+x_{n+1}(\sum_1^n x_i)\geq \sum_1^{n+1}x_i$

La desigualdad de Bernoulli se deduce cuando todas las $x_i$ son los mismos.

Answer 3

HINT $\rm\ \ U_{n+1}\ =\ (x+1)\ U_n + n\ x^2\ $ que es $\:\ge 0\:$ por inducción.

Answer 4

Mi forma preferida de demostrar Bernoulli es utilizar la desigualdad de Jensen. En primer lugar, la desigualdad es trivial si $1+nx\leq 0$ . Así que supongamos que $1+nx>0$ . La siguiente desigualdad se puede demostrar utilizando la desigualdad de Jensen y el hecho de que $\log$ es cóncava: $$ \frac 1n\log(1+nx)+\frac{n-1}{n}\log 1\leq \log(\frac 1n(1+nx)+\frac{n-1}n)=\log(1+x), $$ que es la desigualdad deseada. De hecho, no importa si $n$ es un número entero. Basta con que $n\geq 1$ y es un número real.