Vamos a tomar en orden inverso, ya que parece más natural de la progresión:
- (2.2) Donde y cuándo se aplica?
Homotopy teoría es parte de la topología algebraica. En un de alto nivel de la usamos para asignar topológicas y geométricas de las preguntas en algebraicas. Al hacerlo, usted puede aprovechar las técnicas algebraicas que pueden ayudar a responder a sus geométrica pregunta. Por ejemplo, cuando se tienen dos diferentes espacios topológicos en sus manos y que está tratando de ver si son topológicamente diferente que usted puede tratar de calcular la homotopy grupos y comparar. Cuando se puede establecer una homotopy entre dos espacios nos dicen que están homotópica. Ciertas propiedades geométricas son conservados por homotopy de equivalencia y a menudo usted puede usar esta información para responder a su original geométricas pregunta.
- (2.1) ¿por Qué necesitamos definir homotopy entre dos funciones continuas?
Homotopy formalmente captura el acto de 'deformación'. Usted deformar una cosa en otra forma continua y dicen que están homotópica. Por lo general las personas están tratando de calcular el grupo fundamental asociado con el espacio topológico (o objeto geométrico). La idea es elegir un punto de la cosa (llamado el punto de base) y, a continuación, empezar a hacer los bucles de todo el espacio que comienzan y terminan en el punto base. Los bucles son continuos los mapas del intervalo [0,1] en el espacio y esas son las funciones continuas que están recibiendo a deformarse en cada uno de los otros con un homotopy. Se vuelven locos y sacar de ellos todo el espacio de partida desde el punto de base y, a continuación, ver si se puede reducir (o retirar) de vuelta al punto original o deformar un bucle dentro de otro. Si usted puede deformar un bucle dentro de otro, entonces te dicen que existe un homotopy entre ellos y se puede considerar equivalente. Definir una operación entre estas clases de equivalencia de los caminos y se puede conseguir algo con una estructura de grupo -- el grupo fundamental. En esencia, usted ha destilado una estructura algebraica del espacio y ahora tienen algo que se puede calcular y comparar con la de otros espacios.
(1.1) no homotopy preservar el área/volumen de los objetos?
Esta pregunta en realidad no tiene sentido porque la idea es formalizar la noción de deformación. Usted deformar una cosa en otra y se encuentran sobre la idea de la métrica. No métrica de volumen o área... así que cuando usted piensa homotopy tirar toda el área y de volumen de una cosa. Mediante el uso de homotopy usted está tratando de sacar algebraica de la información desde el espacio en el que no se preocupan por cosas como área o de volumen. Desde el homotopy punto de vista de una gran rosquilla y una esfera son diferentes (uno tiene un agujero, pero el otro no), pero dos buñuelos de diferentes tamaños son los mismos. Es el agujero que importaba en el final... no los tamaños relativos de cada uno de los anillos.
HTH y lo siento si la he usado un lenguaje que fue demasiado flojo. :) Sonaba como un comp-sci chico por lo que yo estaba tratando de ser un poco menos formal.
Cuidado de la toma.
