¿Existe algún método elegante para clasificar los primos de Gauss?

Question

Por curiosidad, ¿hay alguna clasificación relativamente rápida de todos los primos de Gauss, los primos en $\mathbb{Z}[i]$ ?

He encontrado una clasificación aquí pero el proceso resulta bastante tedioso. No cabe duda de que la clasificación final es bonita, pero ¿hay una forma más rápida y limpia de proceso ¿para clasificarlos a todos?

Si importa, tengo un buen conocimiento de la teoría elemental de los números/reciprocidad cuadrática y de la teoría de los anillos/campos, pero no mucho de la teoría algebraica de los números.

Answer 1

Teorema de la red para anillos: Para cualquier homomorfismo de anillo $\psi:A\to B$ y cualquier ideal $I$ de $B$ el conjunto $\psi^{-1}(I)$ es un ideal de $A$ . Este mapa de ideales preserva la inclusión, es decir, si $I\subseteq J$ son ideales de $B$ entonces $\psi^{-1}(I)\subseteq \psi^{-1}(J)$ . Además, para cualquier ideal primo $P\subset B$ tenemos que $\psi^{-1}(P)$ es un ideal primo de $A$ .

Tenemos un homomorfismo de inclusión $j:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}[i]$ . Nuestra estrategia consiste en clasificar los ideales primos (no nulos) $P$ de $\mathbb{Z}[i]$ según el "valor" de $j^{-1}(P)=P\cap \mathbb{Z}$ .

En primer lugar, reexpresaremos el anillo $\mathbb{Z}[i]$ en una forma más conveniente:

Consideremos el homomorfismo de anillo $\operatorname{ev}:\mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Z}[i]$ definido por $\phi(f)=f(i)$ . Esta función es sobreyectiva, y el núcleo de $\operatorname{ev}$ es el ideal $(x^2+1)$ de $\mathbb{Z}[x]$ . Por lo tanto, por el primer teorema de isomorfismo, $\operatorname{ev}$ desciende a un isomorfismo $\phi:R\to\mathbb{Z}[i]$ , donde $R=\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ .

Para el resto de este post, nos interesará ahora clasificar los ideales primos de $R$ . El teorema de la red garantiza que $\phi$ establece una correspondencia biyectiva, que preserva el orden, entre los ideales primos de los dos anillos. Puedo explicar más sobre por qué esto está bien si quieres.

Consideremos el homomorfismo de inclusión $k:\mathbb{Z}\to R$ (por supuesto $k=\phi^{-1}\circ j$ ); fingiremos, en aras de la conveniencia, que $\mathbb{Z}$ está en realidad contenida como un subconjunto de $R$ .

Para cada ideal primo (no nulo) $(q)$ de $\mathbb{Z}$ queremos clasificar los ideales primos $Q$ de $R$ tal que $k^{-1}(Q)=(q)$ es decir, los ideales primos $Q$ de $R$ que contienen $(q)$ . Obsérvese que un ideal primo $Q$ de $R$ contendrá el $\mathbb{Z}$ -ideal $(q)$ si y sólo si $Q$ contiene el elemento $q$ lo que ocurre si y sólo si $Q$ contiene el $R$ -ideal $qR$ . Por el teorema de la red, los ideales primos de $R$ que contiene $qR$ están en biyección preservadora del orden con los ideales primos de $$R/qR=(\mathbb{Z}[x]/(x^2+1))/q(\mathbb{Z}[x]/(x^2+1))\cong \mathbb{Z}[x]/(q,x^2+1)\cong \mathbb{F}_q[x]/(x^2+1).$$ Si $q=2$ , entonces en $\mathbb{F}_2$ tenemos $x^2+1=(x+1)^2$ para que $$R/2R\cong \mathbb{F}_2[x]/(x+1)^2$$ tiene un ideal primo, a saber $(x+1)\mathbb{F}_2[x]/(x+1)^2$ . Desenrollando nuestros diversos isomorfismos, esto corresponde a $i+1$ en $\mathbb{Z}[i]$ .

Si $q\equiv 1\bmod 4$ entonces $x^2+1$ es reducible (por reciprocidad cuadrática hay algún $a\in \mathbb{F}_q$ tal que $a^2=-1$ en $\mathbb{F}_q$ ), por lo que $$R/qR\cong \mathbb{F}_q[x]/(x-a)(x+a)$$ que tiene dos ideales primos, $(x-a)\mathbb{F}_q[x]/(x-a)(x+a)$ y $(x+a)\mathbb{F}_q[x]/(x-a)(x+a)$ . Desenrollando nuestros diversos isomorfismos, esto corresponde a un par conjugado de primos gaussianos $\pi$ , $\overline{\pi}$ con norma $q\equiv 1\bmod 4$ en $\mathbb{Z}[i]$ .

Por último, si $q\equiv 3\bmod 4$ entonces $x^2+1$ es irreducible (por reciprocidad cuadrática no hay $a\in \mathbb{F}_q$ tal que $a^2=-1$ en $\mathbb{F}_q$ ), por lo que $$R/qR\cong \mathbb{F}_q[x]/(x^2+1)\cong\mathbb{F}_{q^2}$$ es un campo y por tanto tiene un ideal primo, el ideal cero. Desenrollando nuestros diversos isomorfismos, esto corresponde a un primo gaussiano $q\equiv 3\bmod 4$ que vive en $\mathbb{Z}$ .

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Ni que decir tiene que este método es conocido y no es original para mí; por ejemplo, estoy bastante seguro de que Neukirch hace precisamente esto al principio de su libro. Veré si encuentro alguna buena referencia más adelante. Además, sólo me gustaría comentar que algebro-geométricamente, lo que ocurre es que estamos viendo las fibras de $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]$ en $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ ; mira la curva en $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ correspondiente al ideal $(x^2+1)$ en el famoso sketch de Mumford:

Tengo que ir a dormir, así que me despido por ahora, pero responderé a cualquier comentario o pregunta cuando pueda.

Answer 2

Los primos gaussianos son precisamente los primos racionales congruentes a 3 módulo 4 y sus asociados, y los números $a+bi$ tal que $a^2+b^2$ es un primo racional. Me parece bastante limpio, y no encontrarás nada mejor.