¿Qué significa que una topología en un espacio cartográfico corresponda a un tipo de convergencia?

Question

Me han pedido que demuestre que tres topologías diferentes en $Y^X = \{f : X \to Y | f \text{ is continuous} \}$ corresponden a tres tipos diferentes de convergencia, pero no entiendo exactamente qué es lo que estoy tratando de demostrar. Me pierdo en la diferencia entre una secuencia de funciones y una secuencia de puntos en el espacio y me cuesta mucho entender qué significa un conjunto abierto de funciones.

Editar:

1. Demuestre que la topología generada por las intersecciones finitas de conjuntos de funciones continuas de subconjuntos finitos de $X$ para abrir subconjuntos de $Y$ corresponde a la convergencia puntual. (Casi estoy entendiendo la idea general, pero no sé cómo se supone que debo utilizar las intersecciones finitas).

2. Demuestre que la topología generada por las intersecciones finitas de conjuntos de funciones continuas de subconjuntos arbitrarios de $X$ para abrir subconjuntos de $Y$ corresponde a la convergencia uniforme. (Sólo tengo una definición de convergencia uniforme para cuando hay una métrica )

3. Demuestre que la topología compacta-abierta corresponde a la convergencia uniforme. (La misma pregunta sobre la convergencia uniforme, además de la misma pregunta sobre para qué usamos las intersecciones finitas).

Nota: He intentado varias veces publicar esta edición, pero sigue diciendo que necesito que un moderador la apruebe. Soy nuevo en este sitio y no estoy seguro de cómo funciona esto.

Answer 1

La convergencia y los conjuntos abiertos están relacionados de la siguiente manera:

Topológicamente hablando, decir que $f_n$ converge a $f$ significa que para todo conjunto abierto $U$ que contiene $f$ existe $N$ tal que $n \geq N$ implica $f_n \subset U$ .

Si tiene una norma $\|\cdot\|$ , por lo general se diría que $f_n$ converge a $f$ si, para cada $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que $n \geq N$ implica $\|f - f_n\| < \epsilon$ . En lenguaje topológico, su conjunto abierto es $U = \{g : \|g - f\| < \epsilon\}$ .

Puedes ver que diferentes normas pueden corresponder a diferentes topologías. Por ejemplo, se pueden encontrar secuencias de funciones que convergen en el $L^\infty$ (básicamente, convergencia uniforme) pero no en $L^1$ (es decir $\|f_n - f\|_1 = \int|f_n - f| \not\to 0$ Un ejemplo es $f_n = \frac1n\chi_{[0,n]}$ ) o viceversa. Si una secuencia converge en una norma, pero no en la otra, entonces las topologías correspondientes deben ser distintas.

Answer 2

Tal vez le resulte difícil imaginarlo porque está tratando de imaginarlo en el ámbito general. Puedes empezar por ver ejemplos sencillos: por ejemplo, si $X$ es el conjunto $\{1,2,3\}$ con la topología discreta y $Y = \mathbb{R}$ digamos, con la topología habitual, entonces $Y^X \approx \mathbb{R}^3$ como un conjunto; si ponemos diferentes topologías en este conjunto, esto afectará a los límites de las secuencias.

Para otro ejemplo, establezca $X = Y = \mathbb{R}$ con la topología habitual. Puede ser más difícil de visualizar, pero ¿cuál es la topología generada por las bolas $B_r(f) = \{g \in \mathbb{R}^\mathbb{R} : \sup_x |f(x) - g(x)| < r\}$ ? ¿Cuáles son las secuencias convergentes y a qué convergen?

Espero que esto te sirva para empezar. Para una respuesta más detallada, por favor, da algún detalle sobre las tres topologías que necesitas considerar.

Answer 3

En primer lugar, es indiferente estudiar tres topologías o sólo dos, ya que la comparación significativa (como se verá más adelante) es la inclusión, y ésta es binaria.

Así que, primero digamos que tienes dos topologías en $Y^X$ : $ \mathcal T_1,\mathcal T_2$ . Si no existe una relación de inclusión, es obvio que definen dos formas muy diferentes de convergencia:

En $(Y^X,\mathcal T_1):$ $$ (f_n)_{n\geq1} \subset Y^X \ \text{converges to} \ f\in Y^X \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \forall \ \mathcal U\in \mathcal T_1, f\in\mathcal U, \ \exists n_0 :n\geq n_0 \Rightarrow f_n\in\mathcal U.$$

Pero sospecho que lo sabes. Para $\mathcal T_2$ lo mismo será obviamente cierto, y como no hay relación de inclusión entre los dos, no se puede decir nada sobre la convergencia en uno de ellos con respecto a la convergencia en el otro.

Sin embargo, si, por ejemplo, $\mathcal T_1 \subset \mathcal T_2$ , entonces la convergencia en $\mathcal T_2$ implica la convergencia en $\mathcal T_1$ .

Esto es lo que se me ha ocurrido. ¡No estoy seguro por su pregunta si es lo que está buscando, considere añadir más sobre el problema en cuestión!

Editar : He visto los cambios que has hecho y estoy trabajando en una respuesta.