Roto Calculadora: sólo ciertas funciones unarias de trabajo.

Question

He corrido en un reto en Codecademy.com que me tiene absolutamente desconcertado. Estoy seguro de que sólo estoy con vistas a una solución obvia, pero he estado rastreando las tablas de trigonométricas y logarítmicas identidades de días y aún no sé por dónde empezar. La tarea original está aquí, y es simplemente llamado "Broken"Calculadora.

He encontrado otros "Roto" Calculadora de problemas en línea, pero esta es la primera que he visto que hace uso de la trigonometría y funciones de registro. Específicamente, la única de las funciones disponibles son $e^x$, $ln$, $x^2$, √, $sin$, $cos$, $arcsin$, y $arccos$. La calculadora por defecto es 0, así que usted puede conseguir el número 1 por golpear a $e^x$, y usted puede conseguir 2 por golpear a $e^x$ nuevo, a continuación,$x^2 $,$ln$. Que todo es sencillo.

Ahora, puedo conseguir cualquier potencia de 2 por la repetición de los pasos anteriores, y de manera similar, dado cualquier número para empezar, me puede multiplicar o dividir por una potencia de 2. Que fácil.

El siguiente reto es conseguir que la 3, que he encontrado usando 1, 2, √3 triángulo y las correspondientes funciones trigonométricas:

$e^x$, $e^x$, √, $ln$, $arcsin$, $cos$, $e^x$, $x^2$, $ln$, $x^2$ -> 3

De nuevo, estoy seguro de que usted puede encontrar este trivial, pero ¿cómo puedo usar las mismas funciones para obtener el número 11, o cualquier número impar para que otros que 3?

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Los dos primeros comentarios que señalan que el factorial operador está disponible para la primera tarea donde debemos buscar 3. Sin embargo, en la siguiente tarea, perdemos el factorial del operador en el cambio de las funciones trigonométricas. He resuelto con los pasos de arriba, pero estoy pegado en la tarea de encontrar 11.

Answer 1

De hecho, todos los enteros no negativos son alcanzables.

Operación 1: el Uso de $e^x, x^2, \ln$, se puede obtener de $y$$2y$.

Operación 2: Uso de $e^x, \sqrt, \ln$, se puede obtener de $y$$\frac{y}{2}$.

Operación 3: Uso de la $\sqrt, \arcsin, \cos, x^2$, se puede obtener de $y$$1-y$$0<y<1$.

Claramente por la operación 1, es suficiente para conseguir todos los impares enteros positivos. Ahora procedemos por inducción sobre $n \geq 1$ a demostrar que $2n-1$ es alcanzable.

Al $n=1$, claramente $1$ es alcanzable mediante $e^x$.

Supongamos que la declaración tiene por $1 \leq n \leq k, k \geq 1$. Considere la posibilidad de $2(k+1)-1=2k+1$. Supongamos que $2^a<2k+1<2^{a+1}, a \geq 1$. A continuación,$1 \leq 2^{a+1}-(2k+1)<2^a \leq 2k-1$, e $2^{a+1}-(2k+1)$ es impar, así que por la hipótesis de inducción $2^{a+1}-(2k+1)$ es alcanzable. A continuación, iniciar a partir de este valor, y aplicar la operación 2 $a+1$ veces para obtener $1-\frac{2k+1}{2^{a+1}}$, después de aplicar la operación 3 $\frac{2k+1}{2^{a+1}}$, después de aplicar la operación 1 $a+1$ veces para obtener $2k+1$. Por lo tanto $2k+1$ es alcanzable, por lo que se realiza por inducción.

Supongo que un programa puede ser escrito siguiendo los pasos que dimos en la prueba de la inducción de paso...

Answer 2

Esta solución es bastante ad hoc, pero funciona.

Generar $3$ a través del triángulo $1/2, \sqrt{3}/2, 1$ como ya se ha consumado. Ahora, generar $5$ a través del triángulo $\sqrt{3/8},\sqrt{5/8},1$; finalmente generamos $11$ a través del triángulo $\sqrt{5/16},\sqrt{11/16},1$.

Los detalles son sucios porque no se puede definir de alto nivel intermediario de operaciones. Pero esto sin duda se debe trabajar.

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En general, los triángulos $\sqrt{p/2^n}, \sqrt{(2^n-p)/2^n},1$ muy probable que proporcionar usted con los métodos para generar cada número impar. Pero esto será sin duda un desordenado circo.

Answer 3

Teorema. Usted puede generar cada entero positivo impar.

Prueba: Supongamos lo contrario y deje $n$ ser el más pequeño positivo impar número que no puede ser generado. Claramente, $n>1$ $$(0), e^x$$ produce $1$. Para $n>1$ extraño, deje $2^k$ ser el más mínimo poder de $2$$>n$. A continuación, $2^k<2n$ $m:=2^k-n$ es positivo impar el número de $<n$, por lo tanto se pueden generar. Entonces $$(m),e^x, \underbrace{\sqrt{x} , \ldots,\sqrt{x}}_k,\ln,\arccos,\sin,e^x,\underbrace{x^2,\ldots,x^2}_k,\ln $$ produce $n$. Simplemente concatenando las secuencias encuentra por lo tanto se obtiene una válida, pero óptimo resultado. Tenga en cuenta que uno puede cancelar cualquier subsecuencias de la forma $\ln, e^x$ o $\sqrt x,x^2$. $_\square$