Por lo tanto, tengo una pregunta de carácter general primero. ¿Qué sucede con la periodicidad que cuando multiplicamos dos periódicos de funciones trigonométricas uno con el otro ?
El siguiente es muy específico, ¿cuál es el periodo de la función $g(x)=\sin{(ax)}\cos{(bx)}$ donde $a$ $b$ son números racionales ? Yo estaría interesado en una prueba de tipo.
Saludos, David
Se especifica que las $a$ $b$ son racionales. Supongamos que son, respectivamente, $p/q$ $r/s$ y aquellos que están en su mínima expresión. Deje $\ell=\operatorname{lcm}(s,q)$. Entonces $$ \sin\left( \frac p q x \right)\cos\left( \frac r s x \right) = \sin\left( \frac \bullet \ell x \right) \cos\left( \frac \bullet \ell x\right) = \sin\left( \bullet \frac x \ell \right)\cos\left( \bullet \frac x \ell \right) = \sin\left(c\frac x \ell\right)\cos \left( d \frac x \ell \right) $$ (la primera $\bullet$ es el entero $c=\ell p/q$ y el segundo es el entero $d=\ell r/s$). Ahora $cx/\ell = 2\pi$ al $x=2\pi\ell/c$, por lo que es el más pequeño período del primer factor, y del mismo modo el más pequeño periodo de el segundo factor es $2\pi\ell/d$.
Cada varios de los más pequeños período es un período, y buscamos el menor periodo del producto, por lo que queremos que el mínimo común múltiplo de estos dos períodos más pequeño que hemos encontrado. Queremos $(\text{some integer}/c)$ $(\text{some integer}/d)$ a ser igual. Multiplicando ambos lados por $cd$, queremos $(c\cdot\text{some integer})$ $(d\cdot\text{some integer})$ a ser igual. El período se $2\pi$ de veces que el valor común, lo $2\pi\operatorname{lcm}(c,d)$.
El producto de dos periódicos de funciones trigonométricas no puede ser periódica. Pruebe por ejemplo $\sin(\sqrt{2}x)\sin(x)$.
$\sin((p/q)x)$ es periódica de período de $(2q/p)\pi$, pero asegúrese de reducir la fracción $2q/p$ a su mínima expresión.
El período de $\sin{(ax)}\cos{(bx)}$ $a,b$ racional puede ser deducida a partir del resultado anterior. En general, va a ser $m\pi$ donde $m$ es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones, excepto cuando se $a=b$. (Puede haber algunos otros casos especiales.)
Cuando se busca el primer período de $T_p$ (también llamado el más pequeño del período), la respuesta de Michael Hardy no es más aplicable. Ejemplo: $$a = 3, b=6 \rightarrow p=3, q=1, r=6, s=1 \rightarrow l = 1, c = 3, d = 6$$ El período calculado de Michael respuesta es $T = 2\pi\operatorname{lcm}(3,6) = 12\pi$.
El primer período de $T_p$ sin embargo es $\frac{2\pi}{3}$, que puede ser visto a partir de una trama.
Este documento explica en detalle cómo $T_p$ puede ser calculado para las funciones trigonométricas.
Para $a = 3, b=6$ (ejemplos siguientes 17 y 18 en la página 60) $T_p$ puede ser calculada de la siguiente manera
Para la multiplicación de la parte: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{6} \rightarrow T_{p,mult} = 2 T_1 = \frac{4\pi}{3}$
Para la suma de la parte:$\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{9} \rightarrow T_{p,sum} = 3 T_1 = \frac{2\pi}{3}$
Finalmente, $T_p = \operatorname{min}(T_{p,mult},T_{p,sum})$ resultados en $T_p =\frac{2\pi}{3}$.
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