Ninguno de tus ejemplos ningún sentido para mí. Las manipulaciones con
los diferenciales de los cuales son permitidos en el cálculo son, básicamente, sólo los
que siga a partir de la regla de la cadena. En particular, una integral puede ser
transformado mediante el cambio de variables de la fórmula, pero eso es todo. (OK,
tal vez estoy simplificando un poco de aquí, pero el consejo básico es que
si no está seguro de si algo es permitido o no, no lo hagas.)
Creo que gran parte de la confusión que rodea a esta viene del hecho de
que la notación $dy/dx$ no mostrar el punto en el cual la derivada
se supone que para ser evaluados. Por ejemplo, la derivada de una función inversa
la función está dada por la regla de $dx/dy=1/(dy/dx)$ en esta notación,
que es sugerente y útil, pero no muy precisa. Lo que esto realmente
dice es que si $(a,b)$ es un punto en la gráfica de $y=f(x)$ y si el
la pendiente en ese punto es $f'(a)=s$, entonces el punto de $(b,a)$ se encuentra en el
gráfica de la función inversa, $y=f^{-1}(x)$, y la pendiente de que
gráfica en ese punto es $1/s$:
$$ (f^{-1})'(b)=1/s=1/f'(a).$$
No hay "magia", solo una simple
geométrico, hecho que puede ser ilustrado en la imagen.
Para otro ejemplo de un sabor parecido, a ver este
pregunta.
EDIT: se me fue un poco demasiado rápido. Hay algo detrás de sus manipulaciones, después de todo.
Si lo entiendo correctamente, usted está buscando en un segundo orden de la educación a distancia de la forma $d^2 r/dt^2 = f(r,dr/dt)$; vamos a llamar a esta ecuación (A). Esto es equivalente al sistema de primer orden
$dr/dt=w$, $dw/dt=f(r,w)$, que voy a llamar a (B). Cualquier solución de $r=R(t)$ (a)
corresponde a una solución de $(r,w)=(R(t),R'(t))$ de (B).
Fijar una tal solución por el momento.
(Estamos tratando de resolver la ecuación, así que probablemente no sabe una solución
sin embargo, pero podemos fingir que tenemos a uno y a ver a dónde conduce.)
Ahora $(r,w)=(R(t),R'(t))$ es una parametrización de la curva en el $(r,w)$-plano
(el plano fase del sistema).
Siempre que esta curva no tiene inclinación vertical, se ve (al menos localmente)
como la gráfica de una función, $w=H(r)$ decir.
Esta función $H$ satisface una de primer orden de la educación a distancia,
$$H'(r)=\frac{f(r,H(r))}{H(r)},$$
que es útil el hecho de que usted aprendió de Mariano en ese otro hilo.
[Se sigue de "$dw/dr=(dw/dt)/(dr/dt)=f(r,w)/w$"
como se explicó en la respuesta a la que he enlazado más arriba.]
La integral se le preguntó acerca de es
$$ \int_{r_0}^{r_1} H(r) dr.$$
(He adjuntado algunas límites de $r_0$ $r_1$ sólo porque eso hace que sea más fácil para mí pensar.)
Haciendo el cambio de variables $r=R(t)$ donde $R$ es la solución de (A)
que hemos utilizado para definir la función de $H$, obtenemos
$$ \int_{t_0}^{t_1} H(R(t)) R'(t) dt$$
donde $t_0$ $t_1$ son adecuados los valores de tiempo correspondiente a $r_0$ $r_1$
[es decir,$r_0=R(t_0)$$r_1=R(t_1)$].
Por la definición de $H$ tenemos $H(R(t))=R'(t)$,
desde $w=H(r)$ define un punto en la curva de $(w,r)=(R(t),R'(t))$.
Por lo tanto la integral se convierte en
$$ \int_{t_0}^{t_1} (R'(t))^2 dt,$$
al igual que usted (y a Dan en su respuesta) dijo que, aunque expresada de una forma más
de modo preciso.
Ahora, si esto lleva a algo útil, no sé.
Pero al menos debería ser un poco más claro lo que las manipulaciones decir, espero.
