Número de polinomios de grado menor que 4 la satisfacción de 5 puntos

Question

Vamos polinomio $P(x)$ tienen la propiedad de que $P(1),$ $P(2),$ $P(3),$ $P(4)$ y $P(5)$ son iguales a $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ en un cierto orden. ¿Cuántas posibilidades hay para el polinomio $P,$ dado que el grado de $P$ es estrictamente menor que $4$?

Answer 1

Por interpolación de Lagrange, dado los valores de $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $P(4)$, y $P(5)$, existe un único polinomio de grado $\leq 4$ tomar esos valores. Así que la pregunta es, para que las permutaciones de los números de $1$ a través de $5$ será la resultante de $P(x)$ tienen un grado $<4$? Para determinar esto, podemos ver en el real explícito de la fórmula de interpolación de Lagrange y ver lo que el coeficiente de $x^4$ será en términos de nuestros cinco valores. Esa fórmula es $$\begin{align*}P(x)=P(1)\frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)}&+P(2)\frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)}\\ &+P(3)\frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)}\\ &+P(4)\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)}\\ &+P(5)\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}, \end{align*}$$ por lo que el coeficiente de $x^4$ $$\frac{P(1)}{24}-\frac{P(2)}{6}+\frac{P(3)}{4}-\frac{P(4)}{6}+\frac{P(5)}{24}=\frac{P(1)-4P(2)+6P(3)-4P(4)+P(5)}{24}.$$ So we get a polynomial of degree $<4$ iff $$P(1)+6P(3)+P(5)=4(P(2)+P(4)).$$

Ahora sólo tenemos algunos casos a considerar. Si $P(3)=1$, la RHS será, al menos, $4(2+3)=20$ y el LHS es en la mayoría de las $5+6+4=15$, por lo que no hay soluciones. Ya que el problema es simétrico con respecto a la conjugación de por $x\mapsto 6-x$, que no hay soluciones con $P(3)= 5$.

Si $P(3)=2$, $P(1)+P(5)$ es divisible por $4$, lo que significa que $P(1)$ $P(5)$ debe $1$ $3$ (en orden) o $3$ $5$ (en orden). La ecuación se mantenga en el segundo caso, pero no es el primer caso. Esto le da cuatro soluciones diferentes, ya que se puede intercambiar los dos valores de$P(1)$$P(5)$, y también los dos valores de $P(2)$$P(4)$. De nuevo, por la simetría hay cuatro más soluciones si $P(3)=4$.

Por último, supongamos $P(3)=3$. A continuación, $P(1)+P(5)$ debe $2$ mod $4$, lo $P(1)$ $P(5)$ debe $1$ $5$ (en orden) o $2$ $4$ (en orden). Ambos casos el trabajo, y cada uno le da cuatro soluciones. Por lo tanto, hay ocho soluciones total si $P(3)=3$.

Tomando todos los casos juntos, entonces, nos encontramos con que hay dieciséis diferentes soluciones.

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Algunos comentarios de cierre: no Es una coincidencia que los coeficientes de los valores de $P$ en la ecuación tenemos son los coeficientes binomiales; se puede ver que esta haciendo notar que el denominador en la interpolación de Lagrange plazo con $P(n)$ $\pm(n-1)!(5-n)!$ (agrupación de los factores positivos y negativos juntos), y esto se generaliza si reemplazar $5$ por otro entero positivo. Sin embargo, sería bueno tener más conceptual explicación de por qué estamos obteniendo los coeficientes binomiales. También sería bueno tener más conceptual explicación de cómo contar las soluciones (en particular, algo que sería generalizar si reemplazado $5$ por cualquier número entero positivo).

Answer 2

Aquí es un método de cálculo:

Deje $\pi \in \mathbb{R}^4$ representan los coeficientes de un polinomio $p$ de grado $3$ o menos. Es decir, $p(x) = \sum_{k=1}^4 p_k x^{k-1}$.

Definir $A$ por $[A]_{ij} = i^{j-1}$, $[a]_j = 5^{j-1}$ para$i=1,...,4$$j=1,...,4$. Tenga en cuenta que $A$ es invertible.

Vamos $(b,\beta)$ ser una permutación de $\{1,...,5\}$$b \in \mathbb{R}^4$.

Entonces existe un polinomio cuyos valores en $1,...,5$ $(b,\beta)$ iff $A \pi = b, a^T \pi = \beta$, o lo que es equivalente, iff $a^T A^{-1} b = \beta$ fib $(a^T A^{-1},-1) (b, \beta)^T = 0$.

Un rápido cálculo muestra que $(a^T A^{-1},-1) = (-1,4,-6,4,-1)$.

Molienda a través de las permutaciones da $16$.

# python...
import itertools
total = 0
for x in itertools.permutations(xrange(1,6)):
    if 4*(x[1]+x[3])-(6*x[2]+x[0]+x[4]) == 0:
        total = total +1
print total

Mientras Eric caso el análisis es más profundo, podemos reducir el número de de casos a considerar abajo con bastante rapidez por buscar en el vector $(-1,4,-6,4,-1)$.

Cualquier permutación de swaps elementos $1,5$ o $2,4$ va a producir el mismo resultado, por lo que podemos suponer $\pi_1< \pi_5$ $\pi_2< \pi_4$ y multiplicar el número resultante por $4$.

Si $(-1,4,-6,4,-1) \pi = 0$, entonces podemos ver que $\pi_1+\pi_5$ debe ser par.

Esto demuestra que $\pi_1, \pi_5$ están restringidos a $(1,3), (1,5), (2,4), (3,5)$, y desde $\pi_2< \pi_4$, tenemos un total de $12$ de los casos a considerar.

Aclaración: Como Eric (y el cálculo anterior, si usted confía en él) ha demostrado que la respuesta es 16. Mis comentarios de arriba son sólo señalando que si uno fue a hacer el problema a mano con la técnica anterior, sería necesario comprobar 12 casos. Después de comprobar estos, nos encontraríamos con que sólo 4 de trabajo, por lo que el número total de casos es $4 \cdot 4 = 16$.

Eric respuesta es más precisa, la mía es una más perezoso (a partir de un intelectual punto de vista).

Answer 3

Bien, dado $n$ puntos, el único polinomio $P$ $deg(P) < n$ que interpola los puntos de Lagrange Polinomio.

Esto significa que sólo hay un polinomio para cada modo de ordenar $1,2,3,4,5$. En conclusión, se $5!$ posible polinomios que interpolan los puntos. La mayoría de las veces, estos polinomios tienen grado $n-1$, por lo que dependerá de los valores interpolados. Para un caso concreto, usted puede comparar cada uno de Lagrange Polinomio y ver si el grado coincide con su requisito.

Answer 4

La información dada es que la función permutes los 5 números de $\{1,2,3,4,5\}$. Así que estas permutaciones extendido como un polinomio, dará lugar a 120 distintos polinomios; pero si quieres que el título menos de 4 (que no es de 4), a continuación, algunas combinaciones no son posibles.

Tomar la permutación [4,5,1,3,2]. Ver cuántas veces se va para arriba y abajo. Un discretised gráfico se ve como:$/\backslash/\backslash.$ 3 puntos de inflexión. Esto necesita un polinomio de grado 4. Más permutaciones [3,4,2,5,1], [3,4,1,5,2], [1,5,3,4,2] (y sus reversiones demasiado). Usted puede escribir un programa que enumera todas las permutaciones $\sigma\in S_5$, calcula las diferencias $\sigma(j+1)-\sigma(j),\ j <5$ y contar cuántos signo de los cambios en estas diferencias (que será el número de puntos de inflexión).

Answer 5

Hay sólo un polinomio de grado 1 . Hay tres casos

Caso 1 el grado del polinomio es 1 Si dejamos que el grado del polinomio es de 1 a continuación, dejar que el polinomio es P(x)=ax+b . A continuación, poner los valores y resolverlo. El polinomio se convirtió en P(x)=x .
Caso 2 el grado del polinomio es 2. Si el grado del polinomio es 2, a continuación, deje que el polinomio es $P(x)=ax^2+bx+c$ . De nuevo solucionar esto se obtiene de la anterior polinomio P(x)=x Caso 3 el grado del polinomio es de 3 Del mismo modo se obtiene el polinomio P(x)=x . Tan sólo existe un polinomio.