Potencial gravitatorio cercano a la Tierra vs Newtoniano

Question

La Ley de Gravitación Universal de Newton nos dice que la energía potencial de un objeto en un campo gravitatorio es $$U ~=~ -\frac{GMm}{r}.\tag{1}$$

El potencial gravitatorio cercano a la Tierra verificado experimentalmente es $$U ~=~ mgh.\tag{2}$$

El potencial cercano a la Tierra debería ser una aproximación para la energía potencial general cuando $r\approx r_{\text{Earth}}$ pero el problema que tengo es que escalan de forma diferente con la distancia. $(1)$ escalas como $\frac 1r$ . Por lo tanto, cuanto mayor sea la distancia de la Tierra, más menos energía potencial que debe tener un objeto. Pero $(2)$ escala proporcionalmente a la distancia. Por lo tanto, cuanto mayor sea la distancia a la Tierra, más más energía potencial que debe tener un objeto.

¿Cómo se puede conciliar esto?

Answer 1

Su ecuación (2) es el cambio de energía potencial cuando el objeto se mueve verticalmente una distancia $h$ es decir, cuando el objeto se mueve de $r$ a $r+h$ . Utilicemos la ecuación (1) para calcularlo:

$$ \Delta U = GMm\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+h}\right) $$

Restando las dos fracciones dentro del paréntesis se obtiene:

$$\begin{align} \Delta U &= GMm\left(\frac{r+h}{r(r+h)}\frac{r}{r(r+h)}\right) \\ &= GMm\frac{h}{r(r+h)} \end{align}$$

Desde $h \ll r$ es decir $r+h\approx r$ y nuestra ecuación se convierte en

$$\begin{align} \Delta U &\approx GMm\frac{h}{r^2} \\ &\approx \frac{GM}{r^2}mh \\ &\approx gmh \end{align}$$

Nota a pie de página:

Acabo de ver que en tu comentario a la respuesta de Itachí preguntas si puedes utilizar una serie de Taylor. Puedes utilizar una expansión binomial para que la aproximación sea más evidente. Lo reescribes:

$$ \Delta U = GMm\frac{h}{r(r+h)} $$

como:

$$ \Delta U = \frac{GM}{r^2}mh\left(1+\frac{h}{r}\right)^{-1} $$

entonces una expansión binomial da:

$$ \Delta U = \frac{GM}{r^2}mh\left(1-\frac{h}{r} + O\left(\frac{h}{r}\right)^2 \right) $$

Y como antes desde $h \ll r$ el término entre paréntesis es aproximadamente uno y obtenemos de nuevo

$$ \Delta U = \frac{GM}{r^2}mh $$

Answer 2

Dada una fuerza $F$ el trabajo realizado sobre un objeto a lo largo de una distancia entre dos puntos $s_0$ y $s_f$ por esa fuerza es $$W=-\int_{s_0}^{s_f} Fds$$ En el caso de la gravedad, $$F=\frac{GMm}{r^2},\quad ds=dr$$ Así, en el caso de que $U=W$ , $s_0=0$ y $s_f=r$ Así que $$U=\frac{GMm}{r}$$ Ahora, a pequeñas distancias por la superficie de la Tierra, la fuerza es aproximadamente constante. Si sustituimos en $$g\equiv\frac{GM}{r_e^2}$$ y asumir que $g$ es esencialmente constante entre nuestro punto de referencia y $h$ podemos decir que $$\Delta U=\int_0^hmgds=mg\int_0^hds=mgh$$ Así que $(1)$ es la expresión real de la energía potencial en un punto si suponemos que $g$ cambios; $(2)$ es una aproximación si asumimos que el cambio en $g$ es pequeño. Esto es válido cerca de la superficie de la Tierra, como demostró John Rennie, pero generalmente no es válido a grandes distancias.

Debo señalar algo sobre los puntos de referencia. En el caso de $(1)$ , $r$ es una coordenada del centro de masa $M$ En el caso de $(2)$ , $h$ es una coordenada desde algún punto de referencia arbitrario desde el centro de $M$ . Generalmente, se puede tomar como el radio de la Tierra, pero a menudo no es importante para los problemas de conservación de la energía, y se puede elegir cualquier valor que haga los cálculos más sencillos, siempre y cuando $g$ es aproximadamente constante.

Answer 3

La energía potencial de un objeto en un campo gravitatorio es $$U =-\frac{GMm}{r}\tag{1}$$

Si trazo la gráfica de $-\frac{1}{r}$ Parece que:

Por tanto, cuanto mayor sea la distancia a la Tierra, más energía potencial tendrá un objeto.

Answer 4

La respuesta más sencilla es la que más me gusta: Porque $g$ se simplifica a un valor fijo.

La expresión general es: $$U=gmr \quad \quad\text{with}\quad g=\frac{GM}{r^2}$$ y trabaja para cualquier distancia $r$ desde el centro de la Tierra. (Normalmente se escribe $U=mgh$ cuando el punto de referencia está en otro lugar que el centro de la Tierra).

En la superficie de la Tierra con Radio (medio) $r=6371\times 10^3 \;\mathrm m$ obtenemos:

$$g=\frac{GM}{r^2}=\frac{6.674\times 10^{-11}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\cdot s^2}}\;*5.972\times 10^{24}\;\mathrm{kg}}{(6371\times 10^3 \;\mathrm m)^2}\;\mathrm{m/s^2}=9.820\;\mathrm{m/s^2}$$

el conocido valor de $g$ . El movimiento hacia arriba cambia el valor, pero sólo insignificantemente al principio:

• Para $h=1\;\mathrm{km}$ : $\quad g=9.816\;\mathrm{m/s^2}$
• Para $h=2\;\mathrm{km}$ : $\quad g=9.813\;\mathrm{m/s^2}$
• Para $h=3\;\mathrm{km}$ : $\quad g=9.810\;\mathrm{m/s^2}$
• Para $h=4\;\mathrm{km}$ : $\quad g=9.807\;\mathrm{m/s^2}$
• Para $h=5\;\mathrm{km}$ : $\quad g=9.804\;\mathrm{m/s^2}$
• $\quad\vdots$
• Para $h=10\;\mathrm{km}$ : $\quad g=9.789;\mathrm{m/s^2}$
• $\quad\vdots$
• Para $h=100\;\mathrm{km}$ : $\quad g=9.518\;\mathrm{m/s^2}$

Un buen trazado lo muestra más claramente. Por lo tanto, los valores más pequeños - especialmente cuando se mantiene por debajo de 1 km - no hace ninguna diferencia en $g$ . Aquí abajo es seguro asumir un valor fijo. Así que, en definitiva, la expresión $U=mgr$ (o $U=mgh$ ) no es la simplificación; el fijo $g$ es la simplificación.

Answer 5

Todas las demás respuestas son correctas. La respuesta más corta se puede encontrar simplemente mediante la inspección de la ecuación (1) para la energía potencial $U(r)$ . Si $r_2>r_1$ entonces la energía potencial $U(r_2)$ en $r_2$ es más grande ( menos negativo ) que $U(r_1)$ dando un positivo diferencia de energía potencial $U(r_2)-U(r_2)>0$ que es coherente con la ecuación (2).

Suponiendo que $h<<r_{earth}$ se encuentra la aproximación de Taylor $$\Delta U≈\frac{dU}{dr}∣_{r_{earth}}h=\frac{GMm}{r_{earth}^2}h=gmh$$ dando la dependencia lineal de la energía potencial en $h$ cerca de la superficie terrestre según la ecuación (2).