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¿Cuál es el dígito decimal millones de los $ 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10}}} primer $-ésimo?

¿Cuál es la millonésima parte decimal del dígito de la $10^{10^{10^{10}}}$th prime?

(Este prime, con más de $10^{10^{10}}$ dígitos decimales, es mucho más grande que el mayor de los "conocidos" prime.) La respuesta debe incluir una prueba de la corrección. Voy a postear esta pregunta en el espíritu de este consejo, y eventualmente publicar una respuesta (con la prueba de una más general resultado) si nadie más lo hace.

NOTA: La notación $10^{10^{10^{10}}}$ significa lo mismo que $10^{(10^{(10^{10})})}$, y el "millón de dígitos" significa la millonésima dígito de la izquierda, como por lo general por escrito (es decir, el dígito más significativo es el de la izquierda y se llama el 1er dígito).

Último momento: podría haber sido más impresionante de lo que han pedido los $10^{10}$th dígitos, por ejemplo, de la $10^{10^{10^{10^{10}}}}$th prime (el dígito de $8$), ya que quizás nunca nadie antes calculada la diez mil millonésima parte de dígitos de un particular prime.

42voto

mjqxxxx Puntos 22955

El siguiente límite en el $n$-th prime ($p_n$) es conocido: por $n > 6$, $$ n\left(\log{n} + \log\log{n} - 1\right) < p_n < n\left(\log{n} + \log\log{n}\right). $$ Para $n=10^{10^{10^{10}}}$, tenemos $$\log{n} = 10^{10^{10}}\registro{10},$$ un número de diez mil millones de dólares y uno de los dígitos antes del punto decimal, y $$\log\log{n} = 10^{10}\log{10} + \log\log{10} \aprox 23 025 850 931,$ de$ un número con once dígitos antes del punto decimal. Desde el último número es de unos diez millones de dígitos más corto que el anterior, el de un millón de dígitos de $p_n$ es el mismo que el de un millón de dígitos de $n\log{n}$; es decir, podemos ignorar el $n\log\log{n}$ de corrección de$^{\daga}$. Pero $$ n\log{n} = 10^{10^{10^{10}}}\cdot 10^{10^{10}}\registro{10} = 10^{\left(10^{10^{10}} + 10^{10}\right)}\log{10} $$ es una gran potencia de diez multiplicado por $\log{10}$, por lo que su millón de dígitos es igual a la millonésima parte de dígitos de $\log{10}$ (es decir, la 999999-ésimo dígito después de la coma decimal). Este dígito se puede encontrar en un número de lugares (por ejemplo, en [numberworld.org]), y es igual a $5$.


$^\daga$ Esto se basa en nuestro conocimiento, que los dígitos después de la millonésima dígitos de $n\log{n}$ no son de una enorme cadena de us $9$'s. De hecho, el siguiente dígito es 0 $$ (ya que es la millonésima dígitos de $\log{10}$ después de la coma decimal), lo que justifica este paso.

13voto

dave Puntos 224

Un enfoque similar como en la aceptación de la respuesta, pero el uso de una mayor enlazado desde Dusart ...

Teorema: Si $m$ es un número entero positivo, entonces la primera $k-1$ dígitos de los $10^{10^m}$th prime son sólo los de los $\log 10$, donde $k$ es el mayor entero tal que $(k \le \lfloor m - \log_{10} m \rfloor \wedge d_k \lt 9)$ y $d_k$ es el $k$th dígitos de $\log 10$.

Prueba: Rosser demostrado que $p_n \gt n \log n$, y Dusart demostrado que $p_n \le (n \log n)(1 + r_n)$ para todo $n \ge 39017$, donde $r_n = \frac{\log \log n - 0.9484}{\log n} \gt 0$. Por lo tanto,

$p_n = n \log n + (n \log n) \ \epsilon_n $ para todo $n \ge 39017$, donde $0 \lt \epsilon_n \le r_n$.

Ahora supongamos que $n = 10^{10^m}$, donde $m$ es un número entero positivo ($m \ge 1$ garantiza $n \ge 39017$, por lo que Dusart enlazado se aplica). Entonces

$n \log n = 10^{10^m + m} \log 10$

que, en base de $10$, es de solo $\log 10$ con el punto decimal cambiado de $10^m + m$ lugares a la derecha.

Ahora $\log \log 10 < 0.9484$, por lo que

$r_n = 10^{m} \ (m + \frac{\log \log 10 - 0.9484}{\log 10}) < 10^{m} m \le 10^{-\lfloor m - \log_{10} m \rfloor}$,

y por lo tanto

$(n \log n) \ \epsilon_n < (n \log n) \ 10^{-\lfloor m - \log_{10} m \rfloor}$

donde el lado derecho se ve, en base de $10 dólares sólo $n \log n$ con el punto decimal cambiado de $\lfloor m - \log_{10} m \rfloor$ lugares a la izquierda.

Por lo tanto, si $k$ es el mayor entero de la satisfacción (1) $k \le \lfloor m - \log_{10} m \rfloor$, y (2) la $k$th dígito es menor que 9 (para asegurar que no se llevan de la derecha puede afectar el $(k-1)$th dígitos), a continuación, agregar $(n \log n) \ \epsilon_n$ a $n \log n$ no afecta a los primeros $k-1$ dígitos de este último término. QED

NB: Este resultado se generaliza a la $b^{b^{m}}$th prime, para cualquier entero base $b$ tales que $2 \le b \le 13$, y para un entero $m \ge \log_b \log_b 39017$. Las restricciones son para asegurarse de que Dusart enlazado puede ser aplicada.

Ejemplo: Para cualquier $m \ge 10^6 + 8$ (por ejemplo, $m = 10^{10}$, como en la publicación de la pregunta), el primer millón de dígitos de los $10^{10^m}$th prime son sólo los de los $\log 10$. Esto es así porque para $m = 10^6 + 8$, $\lfloor m - \log_{10} m \rfloor = 10^6 + 1$, dando $k$ como el mayor entero tal que $(k \le 10^6 + 1 \wedge d_k \lt 9)$. Directo de la computación (por ejemplo, el uso de la Salvia, que tardó menos de un minuto) muestra que $k-1 = 10^6$, $d_{k-1} = 5$, $d_k = 0 \ (\lt 9)$.

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