Teorema del valor medio (algo) generalizado

Question

El problema. Dejemos que $f:\Bbb R\to\Bbb R$ sea un mapa continuo. Sea $n$ sea un número entero no negativo. Entonces demuestre que existe $0<t_0<1$ tal que $$\int_0^1(1-t)^nf(t)\ dt=\frac{f(t_0)}{n+1}$$

Para $n=0$ esto se puede demostrar por el teorema del valor medio. Definimos $g:\Bbb R\to\Bbb R$ como $g(x)=\int_0^xf(t)\ dt$ . Desde $f$ es continua, $g$ es un mapa diferenciable. Por lo tanto, hay $0<t_0<1$ tal que $g'(t_0)=g(1)-g(0)$ , lo que da $f(t_0)=\int_0^1f(t)\ dt$ .

Pero no puedo demostrarlo por $n>0$ .

Answer 1

Sugerencia: Puede escribir la diferencia como $$ \int_0^1 (1-t)^n (f(t) - f(t_0)) dt $$ y preguntar qué pasa si $f(t_0)$ es el mínimo o el máximo de $f$ .

Answer 2

Generalmente se tiene el siguiente teorema del valor medio integral.

Teorema

Si $f$ y $g$ son funciones integrables con $f$ continua y $g$ no cambiar de signo, entonces hen hay algún $c \in [a,b]$ tal que $$ \int_a^b f(x) g(x) dx = f(c) \int_a^b g(x) dx.$$

Una vez que se conoce el enunciado, es bastante sencillo de demostrar. Si dejas que $\gamma = \int_a^b g(x) dx$ y que $m,M$ sea el mínimo y el máximo que $f$ logra en $[a,b]$ (respectivamente), entonces $$ m\gamma \leq \int_a^b f(x) g(x) dx \leq M\gamma,$$ o más bien $$ m \leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) dx}{\gamma} \leq M.$$ Por el teorema del valor intermedio, $f$ toma todos los valores de $m$ a $M$ en $[a,b]$ y por lo tanto hay algo de $c \in [a,b]$ tal que $$ f(c) = \frac{\int_a^b f(x) g(x) dx}{\gamma}.$$

Reordenando se obtiene el teorema [excepto cuando $\gamma = 0$ --- pero eso es un ejercicio sencillo que dejo de lado]. $\diamondsuit$

Esto se aplica a su problema tomando $f = f$ y $g(x) = (1-x)^n$ en el teorema anterior. Entonces, en particular $$ \int_0^1 g(x) dx = \int_0^1 (1-x)^n dx = \frac{1}{n+1}.$$

Con esto concluye la prueba. $\spadesuit$