Son variables independientes realmente independiente?

Question

Yo soy el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales, en los que los apuntes de clase se incluye la siguiente declaración:

$$x^2 + y^2 + (z-c)^2 = a^2$$
Aquí z es la variable dependiente; x,y son variables independientes; y,c son constantes arbitrarias.

Matemáticamente, todas las variables que dependen de cada una de las otras variables, por tanto, no hay ninguna diferencia entre x,y o z. Es esta una distinción subjetiva? No son variables objetivamente todos los dependientes los unos de los otros?

Answer 1

Esto significa que $z$ es una función de $x$$y$, por lo que el pleno de la escritura sería

$$x^2+y^2+(z(x,y)-c)^2=a^2$$

Answer 2

Es una desgracia común el abuso de notación que confunde la noción de "dependiente" con uno de los enfoques para la atención a la dependencia.

El dependiente de la triple $\{x,y,z\}$ tiene dos grados de libertad, lo que significa que, para la mayor parte, usted puede escoger dos variables$s$$t$, de modo que $\{s,t\}$ son independientes de par, y escribir todo de $x,y,z$ como funciones de $s$$t$.

(por ejemplo, usted podría recoger $s,t$, de modo que $s=x$$t=y$)

El abuso de notación, entonces, es llamar a $s,t$ "variables independientes" y $x,y,z$ "variables dependientes". (o, si usted escogió $s=x$ $t=y$ a llamar a $x,y$ "variables independientes" y $z$ la variable "dependiente")

La intención es no trabajar con las variables $x,y,z$, pero en lugar de las funciones que se expresan en términos de $s,t$.

Hay otra lamentable abuso de notación que confunde aún más a la cuestión — la función de expresar, por ejemplo, $z$ como una función de la $s$ $t$ es a menudo llamado$z$.

Answer 3

Cuando dios creó el mundo, ${\mathbb R}^3$ las tres variables $x$, $y$, $z$ se utiliza para tratar los puntos de $p\in{\mathbb R}^3$ eran verdaderamente independiente.

Ahora una ecuación $$x^2+y^2+(z-c)^2=a^2\tag{1}$$ is given, whereby for simplicity we assume $a>0$. Esta ecuación no define ninguna función en sí, sino un conjunto de soluciones de $$S:=\bigl\{(x,y,z)\,\bigm|\,x^2+y^2+(z-c)^2=a^2\bigr\}\ .$$ En el caso de que este conjunto es un $2$-esfera de radio $a$ centro $(0,0,c)$.

Sin embargo, una ecuación como $(1)$ lo hace de forma implícita definir un seleccionados adecuadamente, de las tres variables como las funciones de los otros dos, aunque sólo a nivel local. El teorema de la función implícita garantiza este (en "los supuestos técnicos"), aun si no son capaces de resolver $(1)$ explícitamente el elegido variable, decir $z$. Para ser precisos:

Si $f\in C^1$, e $\nabla f(x_0,y_0,z_0)\ne(0,0,0)$ en algún punto de $(x_0,y_0,z_0)\in S$, decir $f_z(x_0,y_0,z_0)\ne0$, entonces no es una caja rectangular (una "ventana local")$$W=[x_0-h,x_0+h]\times[y_0-h',y_0+h']\times[z_0-h'',z_0+h'']$$ with center $(x_0,y_0,z_0)$, and a $C^1$-function $$\phi:\>[x_0-h,x_0+h]\times[y_0-h',y_0+h']\to[z_0-h'',z_0+h'']$$ tal que $$S\cap W=\bigl\{(x,y,z)\,\bigm|\,|x-x_0|\leq h,\ |y-y_0|\leq h', \ z=\phi(x,y)\bigr\}\ .$$ Esto significa que dentro de la caja de $W$ la ecuación dada $f(x,y,z)=0$ define $z$ "implícitamente" como una función de $z=\phi(x,y)$.

Answer 4

Es subjetivo en el sentido de que usted tiene tres opciones. Nota $$ 2xdx + 2ydy+2(z-c)dz = 0 $$ usted puede resolver por $dx, dy$ o $dz$. El coeficiente de los diferenciales dice cuando es posible escribir esa variable en términos de las restantes par. Por ejemplo, podemos escribir $x = g(y,z)$$x \neq 0$. Del mismo modo, $y = h(x,z)$$y \neq 0$$z = j(x,y)$$z \neq c$. Esto es a partir del teorema de la función implícita, es compatible con el cálculo de la sabiduría comparto con ustedes aquí.

Answer 5

Estás en lo correcto, la expresión matemática de $x^2+y^2+(z−c)^2-a^2$ $x,y,z$ variables e $a,c$ constantes tiene al menos 3 carácter paramétrico de las superficies definidas por 1 dependiente y 2 variables independientes.