La regulación de la $\int_0^\infty \sin x \, \mathrm{d} x$

Question

El límite $$\lim_{a \to \infty} \int_0^a \sin x \, \mathrm{d} x$$ no existe. Sin embargo, hay que considerar que $$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_0^\infty e^{- \epsilon x} \sin x \, \mathrm{d} x = 1 \,.$$ Aquí me tienen "regulados" la integral. Lo que he descubierto, y lo que me parece muy sorprendente, es que si, en lugar de una exponencial, puedo elegir una función diferente a$f(x, \epsilon)$, lo que tiende a $1$ $\epsilon$ $0$ y tiende a $0$$x$$\infty$, tengo exactamente la misma convergencia. Así que si puedo elegir $$ f(x, \epsilon) = \frac{1}{1 + \epsilon x^2} \quad \text{or} \quad \mathrm{sech}^2(\epsilon x) \,,$$ Entonces la integral de $f(x, \epsilon) \sin x$ de 0 a $\infty$ tiende a $1$ $\epsilon$ tiende a $0$.

¿Por qué está sucediendo esto?

Answer 1

Deje $f(\epsilon x)$ una función que decae a cero (para estar seguro, creo que es suficiente, si es que puede ser también rápidamente oscilante) como $x\rightarrow \infty$$f(0)=1$. Además uit no debe contener los puntos singulares. Entonces tenemos

$$ F(x,\epsilon)=\int_0^{\infty}\sin(x)f(x\epsilon)\, \mathrm dx= \frac{1}{\epsilon}\int_0^{\infty}\sin\left({\frac{x}{\epsilon}}\right)f(x)\, \mathrm dx=\frac{1}{\epsilon}\Im\int_0^{\infty}\exp\left({\frac{i x}{\epsilon}}\right)f(x) \, \mathrm dx $$

si $\epsilon$ va a cero este es un clásico ejemplo de una integral que podrían ser abordados por el método de la fase estacionaria y la dominando contribución será desde el límite en el punto en $x=0$ (véase la fórmula 2.22 en el de referencia)

$$ F(x,\epsilon)\underset{\epsilon \to 0}{\sim}\frac{1}{\epsilon}\Im\left(\epsilon\frac{f(0)}{-i} \right)+\mathcal{S}(\epsilon)=1+\mathcal{S}(\epsilon) $$

Esto es debido a que de forma heurística de la heaviy oscilaciones tienden a cancelar los unos a los otros (pero para llegar a ellos se necesita una pequeña parámetro $\epsilon$)

Answer 2

Deje $\{f_n\}$ ser una secuencia de funciones. Parece que han asumido que

$$\lim_{n \to \infty} \left(\int_0^{\infty} f_n(x)~\mathrm dx\right) = \int_0^{\infty}\left(\lim_{n \to \infty}f_n(x)\right)\mathrm dx$$

Incluso si la secuencia de $\{f_n\}$ converge uniformemente a una función de límite de $f$, es necesario el dominio de integración que ser finito. Ver:

• Teorema de convergencia dominada
• Monotono teorema de convergencia