Pueden dos enteros polinomios toque en un irracional punto?

Question

Definimos un número entero polinomio como polinomio que sólo tiene coeficientes enteros. Aquí sólo estoy interesado en polinomios en dos variables.

Ejemplo:

• $P = 5x^4 + 7 x^3y^4 + 4y$

Tenga en cuenta que cada polinomio P define una curva considerando el conjunto de puntos donde se evalúa a cero. Vamos a hablar acerca de esta curva.

Ejemplo:

El círculo puede ser descrito por

• $x^2 + y^2 -1 = 0$

Decimos que dos polinomios $P,Q$ están tocando en el punto de $(a,b)$ si $P(a,b) = Q(a,b) = 0$ y la tangente en el $(a,b)$ es el mismo. O más geométricamente, las curvas de $P$ $Q$ no se cruzan.

(La Figura fue creada con IPE - editor de dibujos.)

También necesitamos una técnica condición. Para esto vamos a $D$ ser un "suficientemente pequeño" disco alrededor de $(a,b)$. A continuación, $Q$ $P$ definir dos regiones indicó el verde y el amarillo. Las regiones deben ser interiores disjuntos. Sin esta condición para $P = y-x^3$ $Q=y$ el punto de $(0,0)$ sería un punto de tocar así. Ver también el lado derecho de la figura. (Sé que no estoy totalmente precisas aquí, pero no quiero ser demasiado formal, de modo que yo pueda llegar a una amplia audiencia.) (Gracias por el comentario de Jeppe Stig Nielsen.)

Ejemplo:

• $P = y - x^2$ (Parábola)
• $Q = y$ ($x$-eje)

Que toque en el origen $(0,0)$.

Mi pregunta:

No existen dos enteros polinomios $P,Q$ que toque en un irracional punto de $(a,b)$? (Estaría bien para mí, si bien $a$ o $b$ es irracional)

Muchas gracias por las respuestas y comentarios. Hasta

Answer 1

¿Qué acerca de la $(x^2-2)^2$$0$?

Si usted quiere que coordina a ser irracional, puede agregar algo como $x^3$ a ambos.

Espero que esto ayude a $\ddot\smile$

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^{Imágenes cortesía de WolframAlpha.}

Answer 2

Si usted tiene un irracional punto de tangencia entre las curvas de su cuerpo, debe haber al menos otro conjugada, y desde puntos tangentes son el doble de puntos, por el teorema de Bézout, el producto de los grados de las curvas debe ser al menos de $4$.

Desde dtldarek dio un ejemplo de un grado $4$ curva y un grado $1$ curva, permítanme darles un ejemplo entre dos grados $2$ curvas :

El círculo de $x^2+y^2= 1$ y la elipse $17x² + 8y² + 12x = 4$ son tangentes a $(-2/3, \pm \sqrt {5}/3)$

Answer 3

Aquí está una manera general para encontrar ejemplos en los que ambas curvas son de la forma $y=f(x)$. Observe que $y=f(x)$ $y=g(x)$ cumplir en un determinado valor de $x$ fib que el valor de $x$ es una raíz del polinomio $h(x)=f(x)-g(x)$, y tienen la misma tangente de la línea de iff que el valor es una raíz de $h(x)$ de multiplicidad mayor que $1$.

Así que esto significa que para encontrar un ejemplo, sólo necesitamos un polinomio $h(x)$ con coeficientes enteros que tiene una doble raíz en algunos irracional valor de $x$ (entonces podemos tomar la $g(x)$ a cualquier polinomio con coeficientes enteros en todo, y $f(x)=h(x)+g(x)$). Esto es fácil de hacer: acaba de tomar cualquier polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros y una raíz irracional, y deje $h(x)=p(x)^2$.