Usted puede hacer el parcial fracción de expansión en un sistema más eficiente y menos propenso a errores manera que el estándar de alta método de la escuela, lo que también ayuda para el seguro de esfuerzo en los casos donde el grado del numerador es mayor que el del denominador. Para una determinada función racional P(x) considerar el comportamiento cerca de sus puntos singulares $x_1$, $x_2$, etc.
$$Q(x) = \frac{A_r}{\left(x-x_1\right)^r} + \frac{A_{r-1}}{\left(x-x_1\right)^{r-1}}+\cdots$$
$$Q(x) = \frac{B_s}{\left(x-x_2\right)^s} + \frac{B_{s-1}}{\left(x-x_2\right)^{s-1}}+\cdots$$
A continuación, considere la función racional P(x) se define como:
$$P(x)= Q(x) - \left[\frac{A_r}{\left(x-x_1\right)^r} + \frac{A_{r-1}}{\left(x-x_1\right)^{r-1}}+\cdots\right] - \left[\frac{B_s}{\left(x-x_2\right)^s} + \frac{B_{s-1}}{\left(x-x_2\right)^{s-1}}\right]-\cdots$$
donde hemos restado de Q(x) el singular términos de cada expansión. Entonces P(x) sólo ha extraíble singularidades en los puntos singulares de Q(x), por lo que podemos definir P(x) en los puntos de toma de los límites adecuados. P(x) es una función racional sin ningún tipo de singularidades, que es por lo tanto un polinomio.
Para encontrar P(x), sólo necesitamos calcular su comportamiento en el infinito, lo que requiere menos cálculos en los que una de pleno derecho la división larga. Si el grado de la numeator de Q(x) fueron menos que el del denominador, entonces P(x) debe ser cero. Si no, entonces uno necesita para calcular P(x). Uno puede interpretar que en caso como el que existe una singularidad en el infinito. La expansión de Q(x) alrededor de infinito implica incrementar en potencias de 1/x, potencias negativas de esta expansión de parámetros son positivos potencias de x. Así, el singular términos de la expansión en el infinito es el polinomio P(x).
Esto significa que se puede afirmar que, en general, la fracción parcial de expansión de una función racional P(x) está dada por la suma de todos los singulares piezas de todas las expansiones de alrededor de todos los puntos singulares.
En este caso, usted tiene que alrededor de x = 1 el singular comportamiento que le es dado como/(x-1), y para calcular Un solo necesita sustituir x = 1 en el numerador y el 1/(x+2) factor del denominador. Así, no es necesario hacer la división, primero antes de hacer este tipo de cálculos (obviamente el resultado de que la división larga, cuando se expande en potencias de x-1 no puede producir singular términos). Esto elimina una fuente potencial de errores, si no a la larga expansión equivocado, error que también afectaría el resultado que se obtiene de la A.
Así, vemos que A = -1
A continuación, el singular comportamiento de cerca de x = -2 es fácil de encontrar en 3/(x+2).
A continuación, necesitamos encontrar el comportamiento de todo el infinito. Puede calcular esta haciendo una división larga, pero a diferencia haciendo parcial de las fracciones en la "alta escuela" no necesitamos que el resto, así que todos los poderes menos de 2 en el numerador puede ser ignorado. Podemos ver que el comportamiento de x es x, y si x restar veces el denominador del numerador, se queda con un término que empieza con x^2, lo que produce que las grandes x el comportamiento de la 1, y no estamos interesados en nada de lo que viene después de eso. Por lo tanto, la fracción parcial de expansión está dado por
$$x+1 + \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-1}$$
