Estoy leyendo el libro de Kelley sobre topología general. Allí hay algunas afirmaciones sobre las redes (capítulo 2), pero no se da la caracterización de los conjuntos compactos en el lenguaje de las redes. ¿Cómo podemos demostrar lo siguiente?
Teorema: Un espacio topológico X es compacto si toda red tiene una subred convergente.
Ver Teorema $15.3$ en este excelente PDF , Traducción entre redes y filtros de Saitulaa Naranong; merece la pena leerlo entero.
Un documento interesante, pero estaba un poco confundido, porque cambiaron $\Psi$ y $\Phi$ en la definición de subred en la página 11.
@Stefan: No estoy seguro de lo que quieres decir: en esa página utiliza sistemáticamente $\Psi$ para la subred y $\Phi$ para la red original.
Es decir $\Psi$ es la subred de $\Phi$ si $\Psi$ está finalmente en todos los conjuntos en los que $\Phi$ es finalmente. Así que en la segunda línea de la definición 10.2 la flecha debería apuntar en la otra dirección.
Supongamos que $x_\alpha$ es una red en $X$ sin subred convergente. Entonces $(x_\alpha)$ no tienen punto de acumulación en $X$ . Para cada $x\in X$ , dejemos que $V_x$ sea una vecindad abierta de $x$ que excluye toda la parte de la red a partir de algún término. Sea $V=\{V_x:\ x\in X\}$ y observe que $V$ es una cubierta abierta de $X$ . ¿Puedes demostrar que es imposible encontrar una subcubierta finita de $X$ en $V$ ?
Por otro lado, dejemos que $V$ sea una cubierta abierta de $X$ tal que toda subcubierta finita de $V$ no cubra $X$ . Considere la cubierta abierta $U$ de $X$ formado por uniones finitas de elementos de $V$ . Si $A,B\in U$ decimos que $A\leq B$ cuando $A\subseteq B$ . Con esta relación, $V$ es un conjunto dirigido. Para $A\in V$ , dejemos que $x_A\in X\setminus A$ . ¿Puede demostrar que la red $x_A$ no tiene ninguna subred convergente?
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