Estoy encontrando dos definiciones de la especial ortogonales álgebra de la mentira, y me gustaría saber si son equivalentes, y si hay ventajas de trabajar con uno sobre el otro.
Si comenzamos con un $n$-dimensional espacio vectorial $V$ sobre un campo $k$ y de base, podemos definir una forma bilineal en $V$ por una matriz de $S\in M_n(k)$, es decir, vamos a $\langle v,w\rangle=v^tSw$ todos los $v,w\in V$. Ahora $g\in GL_n(k)$ preserva la forma de ($\langle g(v),g(w)\rangle=\langle v,w\rangle$) si y sólo si $g^tSg=S$, por lo que todas estas $g$ formar un algebraicas lineales grupo $G$. El espacio de la tangente a la identidad de $G$ será incluida en la de $GL_n(k)$, lo $T_eG\subset T_eGL_n(k)=M_n(k)$, y en el hecho de, $T_eG=\{B\in M_n(k)\mid B^tS+SB=0\}$. $T_eG$ se convierte en una mentira álgebra, $Lie(G)$, si definimos el soporte para ser el colector de dos matrices.
Ahora, si $S=I_n$, se deduce que el $G=O_n(k)$ es el grupo ortogonal de matrices de satisfacciones $g^tg=I_n$, e $Lie(G)=\mathfrak{so}_n$ es la mentira de álgebra de antisimétrica matrices.
En Humphrey's Introducción a las Álgebras de Lie y la Teoría de la Representación, que él define $\mathfrak{so}_n$ a todas las matrices $B$ satisyfing $B^tS+SB=0$, donde $$ S=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&O&I_l\\ 0&I_l&O \end{pmatrix} \hspace{.5en}\text{o}\hspace{.5en} S=\begin{pmatrix} O&I_l\\ I_l&O \end{pmatrix} $$ dependiendo de la paridad de $n$. Las matrices obtenidas de esta forma no antisimétrica, ni el grupo es $G$ la preservación de la forma definida por la $S$ el grupo ortogonal $O_n(k)$.
Son los dos grupos obtenidos a partir de considerar los diferentes $S$ isomorfos? Son las dos álgebras de lie isomorfos? Si es así, ¿por qué uno prefiere una forma a la otra?
