Estoy encontrando dos definiciones de la especial ortogonales álgebra de la mentira, y me gustaría saber si son equivalentes, y si hay ventajas de trabajar con uno sobre el otro.
Si comenzamos con un nn-dimensional espacio vectorial VV sobre un campo kk y de base, podemos definir una forma bilineal en VV por una matriz de S∈Mn(k)S∈Mn(k), es decir, vamos a ⟨v,w⟩=vtSw⟨v,w⟩=vtSw todos los v,w∈Vv,w∈V. Ahora g∈GLn(k)g∈GLn(k) preserva la forma de (⟨g(v),g(w)⟩=⟨v,w⟩⟨g(v),g(w)⟩=⟨v,w⟩) si y sólo si gtSg=SgtSg=S, por lo que todas estas gg formar un algebraicas lineales grupo GG. El espacio de la tangente a la identidad de GG será incluida en la de GLn(k)GLn(k), lo TeG⊂TeGLn(k)=Mn(k)TeG⊂TeGLn(k)=Mn(k), y en el hecho de, TeG={B∈Mn(k)∣BtS+SB=0}TeG={B∈Mn(k)∣BtS+SB=0}. TeGTeG se convierte en una mentira álgebra, Lie(G)Lie(G), si definimos el soporte para ser el colector de dos matrices.
Ahora, si S=InS=In, se deduce que el G=On(k)G=On(k) es el grupo ortogonal de matrices de satisfacciones gtg=Ingtg=In, e Lie(G)=son es la mentira de álgebra de antisimétrica matrices.
En Humphrey's Introducción a las Álgebras de Lie y la Teoría de la Representación, que él define son a todas las matrices B satisyfing BtS+SB=0, donde
S=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&O&I_l\\
0&I_l&O
\end{pmatrix}
\hspace{.5en}\text{o}\hspace{.5en}
S=\begin{pmatrix}
O&I_l\\
I_l&O
\end{pmatrix}
dependiendo de la paridad de n. Las matrices obtenidas de esta forma no antisimétrica, ni el grupo es G la preservación de la forma definida por la S el grupo ortogonal On(k).
Son los dos grupos obtenidos a partir de considerar los diferentes S isomorfos? Son las dos álgebras de lie isomorfos? Si es así, ¿por qué uno prefiere una forma a la otra?
