Tenemos una extraña prime con $(-2|p)= 1.$ es decir, Que podemos solucionar $w^2 \equiv -2 \pmod p.$ Así que ahora tenemos $w^2 = -2 + p t.$, lo Que parece más impresionante como $$ p t - w^2 = 2. $$
O
$$
\det \; \left( \begin{array}{cc}
p & w \\
w & t
\end{array}
\right) \; = \; 2
$$
Hemos construido el positivo binario forma cuadrática $f(x,y) = p x^2 + 2 w x y + t y^2,$ o en taquigrafía
$ \langle p, 2 w, t \rangle. $
Ahora, cualquier positiva binario forma cuadrática puede ser reducido en el sentido de Gauss. Es decir, una forma de reemplazo puede ser producido, llame a $ \langle a, 2 b, c \rangle, $ con el mismo determinante $ac-b^2 = 2$ $0 \leq |2b| \leq a \leq c, $ $a > 0$ $2b \neq -a.$ no es difícil mostrar por las desigualdades que la única forma reducida es en realidad $ \langle 1,0,2 \rangle. $ Esta propiedad es llamada "clase número uno".
Ver REDUCCIÓN de la DEMO.
Ahora, ¿de qué se trata la reducción? Esto significa que podemos encontrar una parte integral de la matriz de determinante $1,$ llamar
$$
P = \left( \begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}
\right)
$$
con la transposición
$$
P^T = \left( \begin{array}{cc}
\alpha & \gamma \\
\beta & \delta
\end{array}
\right),
$$
tal que
$$
\left( \begin{array}{cc}
\alpha & \gamma \\
\beta & \delta
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{cc}
p & w \\
w & t
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}
\right) \; = \;
\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{array}
\right).
$$
Tan lejos, tan bueno. Como $P$ ha determinante $1,$ es fácil encontrar su inversa, y nos encontramos con
$$
\left( \begin{array}{cc}
\delta & -\gamma \\
-\beta & \alpha
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{cc}
\delta & -\beta \\
-\gamma & \alpha
\end{array}
\right) \; = \;
\left( \begin{array}{cc}
p & w \\
w & t
\end{array}
\right).
$$
Bien. Si tiene cuidado de multiplicar las matrices, se puede ver que $\delta^2 + 2 \gamma^2 = p.$ Es una buena cosa.
RÉPLICA: las situaciones en las que este argumento funciona en su totalidad son estos: de una forma positiva $ \langle a,b,c \rangle, $ donde $b$ es permitido ser impar, tomamos el discriminante $\Delta = b^2 - 4 a c$ que es negativo, y la misma cantidad como en la "fórmula cuadrática." El argumento funciona para los números primos con $\Delta \neq 0 \pmod p$ $(\Delta | p) = 1,$ cuando, además, no es sólo una clase por género y sabemos que la necesaria congruencia de la información sobre $p,$ o cuando hay exactamente dos clases por género, y estamos preguntando acerca de un género compuesto de un formulario y su opuesto, el de la clase, en los símbolos $ \langle a,b,c \rangle $ $ \langle a,-b,c \rangle. $ Por ejemplo, podemos describir los números primos representado por $3 x^2 + 2 x y + 5 y^2$ enteramente por congruencias, aunque haciendo eso por $x^2 + 14 y^2$ o $2 x^2 + 7 y^2$ es un poco justo de Cox del libro. Por último, me gustaría hacer hincapié en que esto funciona por tiempo indefinido formas, que son tratados en Buell del libro, pero no en Cox. Todo lo que sucede es que normalmente hay varias formas reducidas en una determinada clase de equivalencia, que no hace daño al argumento. Acabo de ver una nueva pregunta con indefinido, discriminante $5,$ pero no voy a escribir todas.
